Cтраница 2
Множество Q рациональных чисел не является полным. Оно содержит фундаментальные последовательности, не сходящиеся к рациональным числам. Добавляя к Q иррациональные числа, мы получаем пространство действительных чисел, уже полное. [16]
Множество Q рациональных чисел счетное. [17]
Множество Q рациональных чисел, как и множества N и Z, можно проиллюстрировать геометрически. [18]
Множество Q рациональных чисел свойством непрерывности не обладает, так как сечение вида 3 в нем не определяет рационального числа. Геометрически это означает, в частности, что на числовой оси точки, соответствующие рациональным числам ( рациональные точки), хотя и расположены плотно, но не заполняют всей числовой оси. R и множество точек числовой оси эквивалентны. [19]
Множество Q рациональных чисел более богато, чем множество Z целых чисел. [20]
Множество рациональных чисел Q счетно. [21]
Множество Q рациональных чисел, наделенное порядковой топологией, порожденном естественным порядком на нем, называется рациональной прямой. [22]
Множество Q рациональных чисел плотно на прямой. [23]
Множество рациональных чисел Q счетно. [24]
Множество рациональных чисел любого сегмента [ а, Ь ] счетно. [25]
Поэтому множество рациональных чисел всюду плотно в множестве вещественных чисел. [26]
Тогда множество Q рациональных чисел имеет меру нуль. [27]
Для множества Q рациональных чисел можно построить пространство R вещественных чисел; множество Q отождествляется с подмножеством пространства R; Q плотно в R и R полно. [28]
Упорядоченность множества рациональных чисел, понятия суммы, произведения, разности и частного двух рациональных чисел вводятся так же, как и соответствующие понятия для рациональных дробей. Математическая запись упорядоченности множества рациональных чисел, операций сложения, умножения, вычитания и деления двух рациональных чисел - такая же, как и запись соответствующих операций над рациональными дробями, лишь вместо знака эквивалентности следует писать знак равенства. [29]
Объединение множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел ( бесконечных десятичных непериодических дробей) дает множество R действительных чисел. [30]