Cтраница 3
Множество решений уравнения г2 - 5л; 6 0 содержит те же самые элементы ( числа 2 и 3), что и множество простых чисел, меньших пяти. Эти два множества равны. [31]
Множество решений уравнения х2 - 5х 6 - 0 содержит те же самые элементы ( числа 2 и 3), что и множество простых чисел, меньших пяти. Эти два множества равны. [32]
Из того факта, что существует последовательность ( А, ( 2)), все члены которой попарно взаимно просты, сразу следует бесконечность множества простых чисел. [33]
Оно хорошо вписывается в функциональную точку зрения на кольца ( см. § 4), согласно которой кольцо Z надо рассматривать как кольцо функций на множестве простых чисел р со значениями в полях Fp. Это подсказывает определение - функции, аналогичное ( 12), для широкого класса колец. [34]
Теоремы ( 1) и ( 2) сходятся между собою в том, что обе несколько уточняют ( хотя и разными способами) теорему о бесконечности множества простых чисел. [35]
Для данной эллиптической кривой величины E ( Q) iori, гл Н ( Е, К), Ш ( Е, К) ( гипотетически конечное), а также множество простых чисел, по модулю которых данная кривая имеет плохую редукцию, являются важнейшими арифметическими инвариантами эллиптической кривой. [36]
Доказательство, которое мы здесь приводим, можно найти в Элементах Эвклида как предложение 20 книги IX. Предположим, множество простых чисел конечно. Другими словами, мы предполагаем, что все числа, большие р, - составные. Из предположения и последнего утверждения вытекает, что у р 1 нет простых делителей, т.е. оно само является простым числом. А поскольку р 1 р, мы получаем противоречие с предположением: р - наибольшее простое число. Итак, простых чисел должно существовать бесконечно много. [37]
Таким образом, предположив, что существует лишь конечное число простых чисел, приходим к противоречию. Следовательно, множество простых чисел бесконечно. [38]
Таким образом, предположив, что существует лишь конечное число простых чисел, приходим к противоречию. Следовательно, множество простых чисел бесконечно. [39]
Вопрос ( 6) - это знаменитая проблема о простых чис-лах-близнецах, и ответ на него неизвестен. Про бесконечность множества простых чисел знал, разумеется, еще Эвклид; его доказательство содержится в § 4.5. Известно также, что для любой пары натуральных чисел о и г с наибольшим общим делителем равным 1, множество простых чисел вида о kr, где А; - натуральное число, бесконечно. Это утверждение было доказано Дирихле в 1837 году. Еще один близкий вопрос - бесконечно ли множество простых чисел р, для которых р 4 - 2 и р 6 тоже простые; ответ на него также неизвестен. [40]
Заметим, что существует достаточно много различных пред-многообразий алгебр, у которых свободные алгебры ( а следовательно, и тождества) совпадают. Пусть Y - некоторое множество простых чисел и V Y - класс всех групп, у которых нет элементов, порядок которых делится на простое число из множества У. Тогда V ( Y) является предмногообразием групп, причем У ( У) - свободные группы - это в точности свободные группы в классе всех групп. Таким образом, имеется континуум различных предмногообразий групп, в которых все тождества одинаковы. [41]
Определение 1.2. Пусть G - абелева группа. Назовем локализацией группы G относительно множества I простых чисел Zj-модуль G Z /; обозначение: Gt. [42]
Не всякое множество имеет плотность. Например, если KQ, а Р - множество простых чисел, первая десятичная цифра которых равна 1, то Р, вообще, не имеет плотности. [43]
Вот, например, доказательство 20 - й теоремы из IX книги Элементов: Существует неограниченно много простых чисел. Доказательство Евклида исходит из предположения о том, что множество простых чисел конечно. Составим произведение П - 2ХЗХ4Х5Х - ХР всех чисел от 2 до р и рассмотрим число W П 1, то есть число, которое на 1 больше этого произведения. Поскольку по предположению р - наибольшее простое число, N не может быть простым числом. Но каждое непростое ( составное) число делится на какое-нибудь простое число. [44]
Иногда приходится рассматривать не все множество, а только его часть. Например, рассматривается не все множество натуральных чисел, а только множество простых чисел. [45]