Cтраница 2
Иногда в том же значении употребляется термин совершенное разностное множество. [16]
Знание множителя оказывает большую помощь при построении разностных множеств или доказательстве их несуществования. [17]
Тогда р есть множитель блок-схемы, определенной данным разностным множеством. [18]
Теорема 10.5. ( v, k, К) - разностное множество эквивалентно симметричной блок-схеме с параметрами v, k, К, матрица инцидентности которой может быть представлена в виде циркулянтной матрицы. [19]
Как уже упоминалось, Брук [1] заметил, что множитель циклического разностного множества - это автоморфизм группы, являющийся также автоморфизмом блок-схемы. [20]
Таким образом, представленная там конечная проективная плоскость оказалась также разностным множеством. [21]
Брук, распространивший идею разностного множества с циклического случая на случай групповых разностных множеств, заметил, что множитель t циклического разностного множества - это фактически автоморфизм х - - xt ( mod v) группы, лежащей в основе схемы ( здесь - циклической группы порядка v), одновременно являющийся автоморфизмом блок-схемы. [22]
Но это означает, что автоморфизм х - х группы G есть множитель разностного множества, и теорема доказана. При построении разностного множества удобно строить блок, фиксируемый множителями ( инвариантный относительно множителей), если мы можем быть уверены, что такой блок существует. [23]
В связи сг - этим конечные проективные плоскости, происходящие описанным способом от разностных множеств с А, 1, называются циклическими. Уже знакомые нам конечные проективные плоскости порядков 2, 3 ( см. (4.2), (5.10)) циклические, так как их матрицы инцидентности нетрудно записать в виде циркулянта. [24]
При этих значениях мы находим, что множество D с 8 ( d) С0 - разностное множество, если v 1, а - 3, и это приводит к разностным множествам типа О. [25]
По теореме Зингера ( теорема 11.3.1) эта схема обладает циклическим автоморфизмом порядка v и может быть представлена разностным множеством. [26]
Эта схема является циклической, и точки в любой гиперплоскости определяют ( v, k, К) - разностное множество. [27]
Брук, распространивший идею разностного множества с циклического случая на случай групповых разностных множеств, заметил, что множитель t циклического разностного множества - это фактически автоморфизм х - - xt ( mod v) группы, лежащей в основе схемы ( здесь - циклической группы порядка v), одновременно являющийся автоморфизмом блок-схемы. [28]
Квадратичные вычеты по модулю р, где psr - 3 ( mod4), р - простое число, также образуют разностное множество. Этот результат принадлежит Пэли [22], как было замечено раньше. [29]
Как следствие из этого замечания ( при нечетном простом р вида ef Г) получаем: если множество вычетов по модулю р образует разностное множество, которое имеет вычеты степени е в качестве множителей, оставляющих это множество неподвижным, то / нечетно. Действительно, сравнение а / / ( mod /) эквивалентно сравнению а hef bp-l 1 ( rnodp) и, когда f четно, ( - 1) г sl ( modp), т.е. - 1 есть вычет степени е и, следовательно, множитель, фиксирующий данное множество, а это, как мы показали, невозможно. [30]