Cтраница 3
Важные подклассы выпуклых множеств образуют выпуклые конусы и аффинные множества. [31]
Теорема 1.4. Выпуклое множество ( выпуклый конус, аффинное множество) содержит всевозможные выпуклые ( неотрицательные, аффинные ] комбинации своих, точек. [32]
Легко видеть, что транслянт аффинного множества есть снова аффинное множество. [33]
Следствие 8.6.2. Выпуклая функция f постоянна на всяком аффинном множестве, на котором она конечна и ограничена сверху. [34]
Пусть С - замкнутое выпуклое множество, не являющееся аффинным множеством или замкнутой половиной аффинного множества. Тогда любая точка относительной внутренности С принадлежит некоторому отрезку прямой, соединяющей две точки относительной границы множества С. [35]
Очевидно, что пересечение любого числа аффинных множеств снова есть аффинное множество. [36]
Следствие 6.5.1. Пусть С - выпуклое множество и М - некоторое аффинное множество, которое содержит хотя бы одну точку из ri С. [37]
Следствие 8.4.1. Пусть С - выпуклое замкнутое множество и М - аффинное множество, такое, что М [ С непусто и ограничено. [38]
Следствие 2.7. Если М - многогранник в ЕЛ и А - аффинное множество в Ел, то A f М - также многогранник. [39]
Пустое множество 0 и все пространство R представляют собой крайние примеры аффинных множеств. Аффинным является также и множество, состоящее из одной точки. Вообще же аффинное множество вместе с любыми своими двумя различными точками содержит всю прямую, проходящую через эти точки. [40]
Двойственность для частных аффинных функций может быть очевидным образом выражена при помощи таккеровского представления аффинных множеств. [41]
Пусть С - замкнутое выпуклое множество, не являющееся аффинным множеством или замкнутой половиной аффинного множества. Тогда любая точка относительной внутренности С принадлежит некоторому отрезку прямой, соединяющей две точки относительной границы множества С. [42]
Из теоремы 32.1 следует, что выпуклая функция f, достигающа верхней грани на аффинном множестве М, принадлежащем dom должна быть постоянна на этом множестве. [43]
Следствие 7.4.2. Если f - собственная выпуклая функция, такая, что dom / есть аффинное множество ( которое, в частности, может оказаться совпадающим с И), то f замкнута. [44]
Теорема 11.2. Пусть С - непустое выпуклое относительно открытое множество в 31 и М - непустое аффинное множество в 51П, не пересекающееся, с С. [45]