Cтраница 3
Некоторое множество соотношений Ф в полугруппе А относительно порождающего множества / С называют определяющим множеством соотношений полугруппы А относительно / С или определяющей совокупностью соотношений, если каждое соотношение в А относительно К. [31]
Доказать, что свободная полугруппа имеет лишь единственное неприводимое порождающее множество. [32]
Фь Ф4 - определяющие множества соотношений групп Olt Соотносительно порождающих множеств К, Кц соответственно в смысле теории групп. [33]
Если / 4 5, то множество А называется порождающим множеством ( или системой образующих) полугруппы S, а его элементы - порождающими ( или образующими) элементами. Полугруппу, имеющую порождающее множество из m элементов, называют ш-порожденной; 1-порожденная полугруппа называется моногенной или циклической. Моногенная полугруппа, порожденная элементом а, обозначается обычно а и состоит из всевозможных степеней ай с натуральными показателями. В противном случае с конечна, так что с точностью до изоморфизма существует единственная бесконечная моногенная полугруппа. [34]
Полугруппу 5 в этом случае называют полугруппой, заданной порождающим множеством А и определяющими соотношениями X, и пишут S / 4 li ( употребительны также записи: 5 Л Е, 5 Л: 2, 5 Л 2; пару Л 2 называют непредставлением ( иногда представлением или заданием) полугруппы S. Всякая полугруппа может быть задана образующими и определяющими соотношениями. Задавая так полугруппу, перечень образующих элементов иногда опускают, подразумевая, что полугруппа порождается всеми элементами, фигурирующими в определяющих соотношениях в качестве букз. [35]
Группа называется относительно свободной, если она обладает таким порождающим множеством, что каждое его отображение в эту группу может быть продолжено до некоторого эндоморфизма. [36]
Доказать, что множество всех осевых симметрш плоскости является порождающим множеством группы все: движений плоскости. [37]
Доказать, что все идемпотенты ранга п - 1 образуют порождающее множество этой полугруппы. [38]
Из задачи видно, что изоморфные группы могут иметь разные порождающие множества и определяющие соотношения. [39]
Доказательство утверждается 6.2.2. Пусть X - граф Кэли группы относительно порождающего множества S. Тогда существует конечный связный подграф L графа X такой, что граф XL, полученный из X удалением ребер L и всех получившихся изолированных вершин, состоит в точности из п бесконечных компонент. G такой, что gL ] L пусто, и, таким образом, gL лежит целиком внутри некоторой компоненты У из XL. Теперь в точности одна из компонент Y gL бесконечна, и граф LU ( y) - связен, откуда X gL имеет не более двух бесконечных компонент. [40]
Алгебра Су ( 93) называется свободной - алгеброй на порождающем множестве У. [41]
В работе [7] доказано, что все плоские выпуклые компакты суть порождающие множества. Выберем х G R2 так, что множество В АГ ( А - - х) не гомотетично А, не пусто и не является точкой. Это возможно, так как множество А не отрезок и не треугольник. Так как множество А является порождающим, то найдется выпуклый компакт С, такой, что А В - - С. [42]
Заметим, что Лг ( l r S) имеет сильное порождающее множество. [43]
Отсюда следует, что всякая свободная полугруппа обладает лишь единственным свободным порождающим множеством. [44]
Пусть F - свободная группа, а, Ь - ее свободное порождающее множество. Доказать, что нормальный делитель группы F, порожденный элементами а2, №, aVf ( см. гл. [45]