Cтраница 3
Здесь мы рассмотрим другой способ построения жордановой нормальной формы, не требующий предварительного вычисления инвариантных множителей и элементарных делителей. Если известны все корни характеристического многочлена матрицы, то для построения ее жордановой нормальной формы этим способом нужно вычислить ранги еще нескольких матриц. При таком способе построения жордановой нормальной формы часто требуется меньший объем вычислений, чем при предыдущем. Однако он связан с другими трудностями, обсуждение которых не входит в задачи нашей книги. [31]
Так как условием эквивалентности А - ХЕ и В - ХЕ служит совпадение их инвариантных множителей, то из доказанной теоремы следует, что, для того чтобы матрицы А и В были подобны, необходимо и достаточно, чтобы инвариантные множители у А - ХЕ и В - ХЕ совпадали между собой. Покажем теперь, что всякая матрица А подобна матрице, имеющей жорда-нову нормальную форму. [32]
ТЕОРЕМА 1.6. Порядок, ранг и система элементарных делителей Х - матрицы полностью определяют ее инвариантные множители и, следовательно, определяют саму матрицу с точностью до элементарных преобразований. [33]
Для того чтобы существовал базис, в котором матрица преобразования диагональна, необходимо и достаточно, чтобы инвариантные множители этой матрицы имели лишь простые корни. [34]
Тогда инвариантный множитель группы Р и совокупность дополнительных множителей образуют нормальное расщепление группы Р, относительно которого допустим инвариантный множитель. [35]
Доказать, что матрица Л над данным полем Р тогда и только тогда подобна диагональной матрице, когда последний инвариантный множитель Е ( Х) характеристической матрицы А - Я. [36]
Так как число нулевых корней левой части не менее s 1, а в правой части имеется s инвариантных множителей ЕЦ ( К), то хотя бы один из них содержит нулевой корень кратности больше первой. [37]
Заметим, что, как следует из теории углового момента, фактор Ланде g - 1 с точностью до инвариантных множителей является коэффициентом Рака. [38]
Если все элементарные делители матрицы ЛеМт, ( К) ( р ( Л) г) заданы, то ее инвариантные множители могут быть найдены с помощью следующей процедуры. [39]
Каждый элементарный делитель входит в совокупность § А, К всех элементарных делителей матрицы А столько раз, в разложении скольких инвариантных множителей он встречается. Элементарные делители, в отличие от инвариантных множителей, зависят от того, над каким кольцом К рассматривается А: если K-F [ h ], a F - нек-рое расширение поля F и KF [ X ], то матрица А. [40]
Матрица А порядка п с элементами из поля Р тогда и только тогда приводится к диагональному виду, если все корни последнего инвариантного множителя еп ( К) ее характеристической матрицы лежат в поле Р, причем среди этих корней нет кратных. [41]
Другими словами, связанное тен срн з произведение двух шаровых сферических функций ( одного и того же аргумента) с точностью до инвариантного множителя снова является шаровой сферической функцией. [42]
Если Се Мт, ( К), то С эквивалентна А тогда и только тогда, когда С и Л имеют одни и те же инвариантные множители. Это утверждение, а также утверждение 3.20.2 являются следствием фундаментального результата, доказываемого в 3.22.1 - нормальной формы Смита. [43]
На самом деле, как это видно из представления ( 7), преобразование Э имеет минимальный многочлен в том и только том случае, когда его последний инвариантный множитель является ограниченным; в этом случае Э ( и его матрица А) называется ограниченным. Например, кольцо дифференциальных преобразований ( в случае характеристики 0) является простым; следовательно, единственными ограниченными матрицами цад этим кольцом являются обратимые матрицы. [44]
Из того, что подгруппа F c - J является холловской в G, следует, что подгруппа Н должна содержать элемент, индуцирую-ищи регулярный автоморфизм в инвариантном множителе группы Фробениуса М2, что невозможно, так как любой элемент из Н перестановочен с элементом сг. [45]