Модель - лоренец
Cтраница 4
Математической основой в данном случае служит полученная в предыдущей главе система динамических уравнений для самопульсирующего лазера. Вводятся популярная в работах по синергетике модель Лоренца и сопутствующий ей странный аттрактор; устанавливается соответствие лазерных уравнений и уравнений гидродинамики, описывающих конвекцию в ячейке Бенара. [46]
Считается, что контур ПК-линии поглощения СО, записанный на уровне Земли, близок к лореяцевскому. Использование контура Фойгта не дает существенных отличий от расчетов содержания микрокомпонентов с использованием модели Лоренца. [47]
В настоящем сообщении рассматривается движение легкой частицы в газе. Такое движение сложнее движения тяжелой частицы, поскольку легкая частица является как бы более квантовой. В частности, если отношение массы легкой частицы к массе атомов стремится к нулю, то мы приходим к модели Лоренца о движении частицы в хаотической среде неподвижных рассеивателей. В этом случае может иметь место чисто квантовый эффект - локализация Андерсона. Если же отношение масс мало, но не исчезаю ще мало, то нужно учитывать тепловое движение атомов газа и соответствующие коллапсы их волновых функций. Коллапсирование волновых функций атомов газа должно сказываться на динамике легкой частицы в виде коллапса ее волновой функции. [48]
Подводя итоги полученным результатам, можно утверждать, что хоровее согласие между величинами Ду и Avaun свидетельствует о той, что два сопоставляемых в настоящей работе подхода отражав. Действительно, в первом приближении оба подхода, основанных как на теории резонансных взаимодействий, тая и на учете спектральных различий аффективного и среднего полей в рамках модели Лоренца, представляют по сути дела лишь различные методы описания диполь-дипольных взаимодействий, свойственных в случае дипольного поглощения любой однородной конденсированной среде. В соответствии с результатами, полученными в работах [4,5], причиной расщепления является различный характер поляризующего воздействия анизотропной кристаллической среды на распространяющееся в разных кристаллографических направлениях поле световой волны. Величина расщепления, как это следует из выражения ( 4), может быть представлена в виде разности сдвигов / Дт) частот кристалла ( спектр L ( v)) по отношению к частоте внутримолекулярного перехода / спектр 5 ( v)) для различных компонент поляризованного спектра. [49]
Расчет энергий стабилизации классическими и квантовомеханическими методами проводился в работах Ошика, Матага, Мак-Рея, Липперта, Билота и Кавского, Липтея, Бахшиева и других авторов исходя из моделей Лоренца и Онзагера с учетом индукционных, ориентационных и дисперсионных взаимодействий. [50]
Нет лучшего примера теории, новые модели и парадигмы которой обещают значительные перемены в естественнонаучном и математическом мышлении, чем нелинейная динамика, испытывающая сейчас революционные изменения. Эти два примера заключают в себе многие особенности хаотической динамики, такие, как разбегающиеся траектории, субгармонические бифуркации, удвоение периода, отображения Пуанкаре и фрактальные размерности. Как для освоения теории линейных колебаний необходимо изучить все тонкости модели из массы с пружиной, без которых нельзя понять колебания сложных систем, так же и каждому, кто ищет свой путь в современной нелинейной динамике, не обойтись без понимания явлений, скрытых в модели Лоренца и логистическом уравнении. Другие, менее яркие парадигмы также важны для понимания и развития теории динамических систем. [51]
Устойчивость движений можно охарактеризовать более подробно. В самом деле, малые возмущения состояния в фазовом пространстве могут возникать по всем возможным направлениям. Число независимых компонент их линейной эволюции в точности равно числу независимых переменных, и для каждой компоненты можно определить инкремент ( декремент) неустойчивости ( устойчивости); эти инкременты называют ляпу невскими показателями. В модели Лоренца три ляпуновских показателя, поскольку число переменных равно трем. [53]
Согласно положениям синергетики ( гл. Эти аналогии становятся особенно отчетливыми в тех случаях, когда качественно меняется макроскопическое поведение системы. В физике лазеров примером таких качественных изменений может служить возникновение лазерной генерации с ростом параметра накачки и возникновение детерминированного хаоса. В гидродинамике известен не только переход к турбулентности, который описывается моделью Лоренца. И теоретические и экспериментальные исследования показывают, что здесь может проявиться целая иерархия различных неустойчивостей, прежде чем будет достигнуто хаотическое состояние. [54]
Здесь, как и во многих других ветвях гидромеханики, большая доля работы была выполнена исследователями школы Фридмана. Фридман весьма интересовался проблемой турбулентности, и его научная деятельность в этом направлении выразилась в докладе, сделанном им совместно с Л.В. Келлером на Международном конгрессе по прикладной механике в Дельфте в 1924 г. ( см.: Keller L. Нам, к сожалению, этой статьи достать не удалось, и ниже мы изложим соответствующие результаты по русской работе Л.В. Келлера), затем в некоторых работах по динамической метеорологии и, наконец, в исследованиях по доказательству динамической невозможности модели Лоренца. Последнюю задачу он, однако, уже не успел выполнить, и она была окончена И.А. Кибелем в статье К вопросу о теоретическом определении первого критического числа Рейнольдса ( Геофизический сборник. [55]
 |
Отображение, полученное численно для системы Лоренца ( а, и показанное для сравнения отображение тент ( б. [56] |
Условие появления экстремума переменной z ( t) отвечает равенству нулю ее производной, которая, согласно третьему уравнению (4.1), равна ху - Ъг. Поток фазовых траекторий системы Лоренца задает на этой части поверхности отображение Пуанкаре. Выпустив траекторию из произвольной точки А области Н -, дождемся ее следующего пересечения с Н - - это и будет образ точки А. Говоря формально, отображение Пуанкаре двумерное и к одномерному отнюдь не сводится. Однако модель Лоренца характеризуется очень высокой степенью сжатия элемента фазового объема за время между последовательными пересечениями. Поэтому отображение действительно хорошо аппроксимируется одномерным, что визуально и наблюдается на рис. 4.3. Более тщательный анализ показывает, однако, что точки на графике в действительности не ложатся на определенную кривую, а имеют некоторый разброс, связанный с присущей аттрактору Лоренца фрактальной поперечной структурой. [57]
Вместе с тем в одном важном отношении система (6.12) отличается от системы Лоренца. Множество работ, выполненных в 80 - е годы, показали, что хаос, наблюдающийся в экспериментах с подогреваемым снизу слоем жидкости, принципиально отличается от хаотических аттракторов в системе Лоренца. В том двумерном течении, описать которое была призвана система Лоренца, имеют место только периодические решения. Чтобы получить их в конечномерной галеркинской модели, нужно брать не три, а около сотни гармоник. Другими словами, анализируя исключительно интересную саму по себе модель Лоренца, мы ничего не узнаем об исходном течении. [58]
Страницы: 1 2 3 4