Cтраница 2
В этом параграфе рассматривается строение проективных модулей над алгеброй А Изучение проективных модулей над А основано на следующей теореме. [16]
Другой важной теоремой о строении проективных модулей является теорема о сокращении: пусть кольца Л, А и модуль Р - такие же, как выше, Q - конечно порожденный проективный А - модуль и Af, N - произвольные Л - модули. [17]
Следующая теорема устанавливает связь между свободными, главными и проективными модулями. [18]
Прежде всего, отметим, что проективные модули не снабжены канонически никакой положительной формой, поэтому их нельзя рассматривать как унитарные представления априори. [19]
Хинохара [5] доказал, что всякий проективный модуль надгквазиполулокальным кольцом ( коммутативное кольцо с единицей называется квазиполулокальным, если оно имеет лишь конечное число максимальных идеалов), не разложимый в прямую сумму, свободен. Попутно установлено, что плоские модули и только они являются пределами прямых спектров проективных. Басе [ И ] доказал эквивалентность следующих свойств кольца Л: 1) Всякий левый плоский Л - модуль проекти-вен; 2) Джекобсоновский радикал / кольца Л Г - нильпотентен и факторкольцо Л / / полупросто в классическом смысле; 3) Слабая размерность произвольного правого Л - модуля совпадает с его проективной размерностью; 4) Кольцо Л удовлетворяет условию минимальности для главных правых идеалов. [20]
Эти утверждения являются очевидными следствиями определения проективных модулей. Свойство поднятия гомоморфизмов проективного модуля не столь очевидно. [21]
Результаты последнего параграфа позволяют получить классификацию проективных модулей над артиновыми алгебрами и теоремы об их строении. Во всем этом параграфе А обозначает артинову справа - алгебру, а Р - некоторый правый Л - мо-дуль, предполагаемый обычно проективным. [22]
Цель этого параграфа - дополнить изучение проективных модулей над артиновой алгеброй указаниями на ту роль, которую при этом играют Идемпотенты. В трех последних параграфах этой главы будут даны некоторые применения идемпотентов. Они будут полезны и в ряде дальнейших рассуждений. [23]
Хорошо известно, что прямая сумма проективных модулей про-ективна, а прямое произведение инъективных - инъективно, Чейз [12] показал, что любая прямая сумма левых инъективных Л - модулей инъективна тогда и только тогда, когда Л нетерово слева. [24]
Имеются по крайней мере два способа определения проективных модулей. Мы изберем тот из них, который технически наименее сложен. [25]
Из этого определения легко следует ряд свойств проективных модулей. [26]
Можно указать и некоторые алгебраические свойства конечно порожденных проективных модулей, являющиеся аналогом локальной тривиальности. [27]
Этот параграф содержит некоторые применения результатов о проективных модулях к структурной теории артиновых алгебр. Начнем с утверждения, дающего красивое описание одного специального класса алгебр, - алгебра А называется при-мирной, если факторалгебра A / i ( A) проста. [28]
При этом естественно возникает важный класс модулей - проективные модули, находящиеся во взаимно однозначном соответствии с полупростыми, что дает возможность доказать для них однозначность разложения на неразложимые, а с помощью алгебры эндоморфизмов перенести этот результат и на произвольные модули. [29]
Следствие 5.7. Всякая алгебра А изоморфна алгебре эндоморфизмов проективного модуля Р над приведенной алгеброй В. Алгебра В определена однозначно ( с точностью до изоморфизма) и изоморфна базисной алгебре алгебры А. [30]