Cтраница 3
Гипотеза Андерсона и максимальный класс моноидов, над которыми проективные модули свободны / / Мат. [31]
Доказать, что тензорное произведение двух проективных - модулей является проективным модулем. [32]
ТЕОРЕМА 1.3. Пусть R - кольцо, над которым каждый конечно порожденный проективный модуль является свободным. [33]
Показано также, что частично упорядоченное множество подмодулей конечного происхождения локально проективного модуля над регулярным кольцом является дедекиндовой структурой с относительными дополнениями. В заключение показана единственность координатизирующего кольца, если структура В обладает квазиоднородным базисом ранга 3 ( независимая система элементов аь... Попутно установлено, что дедекиндова структура с относительными дополнениями, являющаяся объединением возрастающей последовательности однозначно координатизируемых главных идеалов, сама координатизируема. [34]
В этом параграфе рассматривается строение проективных модулей над алгеброй А Изучение проективных модулей над А основано на следующей теореме. [35]
В заключение этого параграфа приведем некоторые необходимые для дальнейшего результаты о проективных модулях. Пусть R - кольцо, М - правый / - модуль; будем говорить, что М является модулем типа / С, если его можно представить в виде прямой суммы ( произвольной совокупности) счетно порожденных модулей. Следующий замечательный результат о таких модулях принадлежит Капланскому. [36]
А) полугруппы П ( А), элементами которой служат классы конечно порожденных проективных модулей над кольцом А, а операцией - прямая сумма модулей. [37]
Тогда каждый подмодуль модуля М является прямой суммой некоторого конечного порожденного модуля и некоторого проективного модуля. [38]
Поскольку свободный модуль является проективным, то любой модуль можно представить в виде гомоморфного образа проективного модуля. [39]
Всякий модуль М может быть включен в точную последовательность 0 - - N-F-M - 0 с проективным модулем F ( ср. [40]
Отображения а и р из предыдущей диаграммы являются изоморфизмами, так как Р и Q - конечно порожденные проективные модули. Эти замечания наводят на мысль о справедливости следующего предложения. [41]
Используя ( а) и теорему Крулля - Шмидта, дать короткое доказательство структурной теоремы для конечно порожденных проективных модулей. [42]
Это очень интересная проблема, которая впервые возникла, когда Серр пытался узнать, является ли всякий конечно порожденный проективный модуль над кольцом многочленов свободным. [43]
Этот результат вытекает из доказанного выше предложения, ибо любое / - пространство является свободным, а следовательно, и проективным модулем. [44]
Теорема 2.8 получена Капланским [58], использовавшим ее для доказательства ( помимо всего прочего) коммутативного варианта теоремы 2.9: каждый проективный модуль над коммутативным полунаследственным кольцом является прямой суммой конечно порожденных идеалов. [45]