Cтраница 3
Подставляя значения функции ( 18) и ( 13) в формулы ( 8), ( 9) и далее коэффициенты Ak ( Y; t), 5ftv ( F; t) в уравнения ( 15), получим замкнутую нелинейную систему уравнений относительно смешанных моментов N порядка. [31]
Моменты л ( п ( X) и i ( 0 w ( Ym), очевидно, совпадают с обычными моментами ( одномерных) случайных величин X и К; если же п 0 и т 0, то момент л ( п w) называется смешанным моментом X и У. [32]
M t) fe называется центральным смешанным моментом того же порядка. Для независимых величин смешанные моменты равны, очевидно, произведению соответствующих обычных моментов. [33]
Коэффициенты корреляции, часто называемые угловыми мерами ввиду их геометрической интерпретации, - самый распространенный тип сходства в области социальных наук. Наиболее известным является смешанный момент корреляции, предложенный Карлом Пирсоном. Первоначально использованный в качестве метода определения зависимости переменных, он был применен в количественной классификации при вычислении корреляции между объектами. [34]
Несмотря на довольно частое применение, кофенетическая корреляция имеет и явные недостатки. Во-первых, использование смешанного момента корреляции предполагает, что нормально распределенные значения в двух матрицах коррелированы. Это предположение обычно не выполняется для значений вторичной матрицы сходства, так как кластерные методы в значительной степени определяют распределение значений сходства в этой матрице. Таким образом, применение коэффициента корреляции для оценки степени сходства между значениями двух матриц не является оптимальным. Во-вторых, поскольку число различных значений во вторичной матрице сходства меньше, чем в исходной матрице, то и количество информации, содержащейся в каждой из двух матриц, весьма различно. Холгерссон ( 1978) провел исследование с помощью метода Мо нте - Карло для того, чтобы проанализировать характеристики кофенетической корреляции, и обнаружил, что она является плохим индикатором качества кластерного решения. [35]
В задачах со случайными векторами выборки рассматриваются покоординатно. Новое обстоятельство заключается в появлении смешанных моментов. [36]
Математическое ожидание и дисперсия являются важными характеристиками случайного процесса, однако они не отражают степени статистической зависимости между значениями случайного процесса в различные моменты времени. Эту зависимость в определенной мере отражает смешанный момент второго порядка. [37]
Точность аналитического метода расчета, которому посвящена данная работа, не выше, конечно, чем точность численных методов, но в большинстве случаев является величиной того же порядка. В этом расчете заведомо не учитываются высшие центральные и смешанные моменты распределений. Но именно эти моменты особенно сильно меняются от партии к партии и при изменении режима работы и температуры. Следовательно, во многих случаях их учет может создать только иллюзию точности, не доступной в действительности вероятностным методам расчета. Поэтому осуществлять проверку ( результатов аналитического расчета численными методами вряд ли целесообразно. [38]
Последний шаг работы при вычислении смешанного момента т делается в столбце ( 8) вспомогательной таблицы. Разделив эту сумму на объем таблицы распределения, получим искомый смешанный момент. [39]
Аналогичным образом можно записать и выражения для центральных моментов высших порядков величин уъ. В эти выражения войдут моменты высших порядков величин Xi, а также смешанные моменты высших порядков. Однако точность вычисления смешанных моментов выше второго порядка, как указывается в приложении 1, крайне низка. Поэтому в общем случае определять высшие центральные моменты величин у не имеет смысла. [40]
Исследование связи между случайными величинами, так же как и исследование распределения, начинается с вычисления соответствующих моментов. Среди них в случае двумерной частичной совокупности наиболее важное значение имеют так называемые смешанные моменты различных порядков. [41]
И наконец, на работу методов кластеризации влияет выбор меры сходства. К сожалению, были изучены только две меры: евклидово расстояние и коэффициент смешанного момента корреляции. Фактически во всех описанных выше исследованиях по методу Монте-Карло сравнивалась работа метода Уорда, использовавшего евклидово расстояние, и метода средней связи, применявшего коэффициент смешанного момента корреляции. Хотя, кажется, выбор меры все же приводит к некоторым различиям в результатах, его воздействие скрадывается воздействием характеристик кластерной структуры, требуемой степени полноты классификации и перекрытия кластеров. [42]
Все статистические операции, имеющие смысл для шкал наименований и порядка, имеют смысл и для шкал интервалов. Кроме того, применимы процедуры для отыскания математического ожидания, стандартного отклонения, коэффициента асимметрии и смешанных моментов. Не имеет смысла лишь одна обычная статистика - коэффициент вариации, или отношение стандартного отклонения к математическому ожиданию. Действительно, математическое ожидание зависит от положения нулевой точки, поэтому коэффициент вариации также от нее зависит. [43]
Для произвольного трехмерного твердого тела можно ввести три момента инерции относительно трех взаимно перпендикулярных осей и три смешанных момента инерции относительно трех координатных плоскостей. Известно, что для несимметричного тела при фиксированном начале координат существует единственная ориентация координатных осей, при которой смешанные моменты инерции обращаются в нуль. Такое оси называются главными осями инерции, а соответствующие моменты инерции - главными моментами инерции, среди которых есть наибольший, наименьший и имеющий промежуточное значение. [44]
В дальнейшем часто будем предполагать, что рассматриваемый стохастический процесс имеет нулевое среднее, т.е. т () 0 для всех t, в этом случае ковариационная матрица и матрица смешанных моментов второго порядка совпадают. [45]