Фазовая жидкость

Cтраница 4

Хотя постулат, сформулированный в предыдущем абзаце, на первый взгляд представляется допущением, которого нельзя доказать непосредственно, все же можно показать, что он находится в согласии с выводами, вытекающими из теоремы Лиувилля. Несложные рассуждения приводят к тому, что понятие равенства априорных вероятностей для различных областей у-пространства совместимо с двумя принципами: принципом постоянства плотности и принципом постоянства объема фазовой жидкости. В соответствии с первым из этих принципов, плотность в данной точке остается неизменной при движении этой точки в фазовом пространстве. Таким образом, у фазовых точек отсутствует тенденция к накапливанию в какой-либо определенной области пространства. Принцип постоянства фазового объема означает, что когда определен объем ( или протяженность) фазового пространства, содержащий некоторое определенное число фазовых точек, то этот объем не изменяется с течением времени, хотя форма его и может измениться значительно. [46]

Объем а фазовой жидкости, рассматривавшийся в предыдущем пункте, является одним из примеров подобных интегральных инвариантов. [47]

В случае консервативной системы фазовая жидкость движется как несжимаемая, вследствие чего в процессе движения форма области может изменяться, но объем ее сохраняется. Наряду с этим инвариантом имеются и другие. Характер движения фазовой жидкости в пространстве состояний всегда установившийся. [48]

Циркуляция является инвариантом движения фазовой жидкости. Она представляет собой величину 2Р 7 проинтегрированную вдоль произ-волыщй замкнутой кривой фазового пространства. Инвариантность циркуляции имеет для фазовой жидкости тот же смысл, что и теорема Гельмгольца для идеальной физической жидкости: обе они утверждают сохраняемость вихрей. [49]

В случае а фазовый элемент движется без искажений его формы, возвращаясь к своему первоначальному положению каждые Т секунд. Это напоминает периодическое движение твердого тела. В течение своего движения капелька фазовой жидкости заметает конечную долю доступного фазового пространства. Такая ситуация вполне может иметь место для реальной механической системы. Рассмотрим, например, систему гармонических осцилляторов с соизмеримыми частотами: траектории представляющих их фазовых точек образуют замкнутые кривые на торе ( см, разд. Если ограничиться рассмотрением пути на поверхности одного из таких торов, то движение будет как раз соответствовать фиг. Иной тип движения изображен на фиг. Здесь форма элемента объема лишь слабо меняется в течение движения. Однако данный элемент объема никогда не возвращается в свое начальное положение. Бели за ним проследить достаточно долго, то этот элемент заметает большую часть фазового пространства, возможно даже - все фазовое пространство. Более того, если время ожидания стремится к бесконечности, то элемент пересечет каждый участок фазового пространства бесконечное число раз. Такой поток называется эргодическим. [50]

Отображения St образуют непрерывную однопараметрич. В порядке иллюстрации в литературе нередко проводят аналогию с известным из повседневной жизни и ранее всего изученным в науке примером, где-возникает подобное семейство преобразований пространства, - стационарным течением жидкости или газа: за время t частица жидкости перетекает из точки wa в. Впрочем, эта аналогия довольно поверхностна, ибо воображаемая фазовая жидкость, текущая в фазовом пространстве, отличается от реальных сплошных сред отсутствием взаимодействия между соседними частицами. [51]

Пусть ансамбль из М систем распределен в фазовом пространстве с плотностью р ( р, q), которая может изменяться во времени за счет перемещения в фазовом пространстве каждой из точек, изображающих состояния каждой системы. При М оо это переходит в задачу о движении некоторой фазовой жидкости с плотностью, пропорциональной р ( р, q), зависящей от координат избранной точки в Г - пространстве. [52]

Различные типы потоков в фазовых пространствах. а не-эргодический поток. б эргодический поток без перемешивания. в поток с перемешиванием. [53]

Однако только этим условием фазовый поток определяется не однозначно. В эргодической системе фазовая жидкость растекается по всему доступному фазовому пространству на микроканонической поверхности, но, как нам уже известно, при этом элемент объема сохраняет форму. Возможны и гораздо более сложные типы потоков в фазовом пространстве: фазовая жидкость не только растекается по всему фазовому объему, но при этом элементарный объем силь - но деформируется. Начальный объем выпускает во все стороны амебообразные отростки и, спустя достаточно большой промежуток времени, распределение становится равномерным независимо от того, какова была его начальная конфигурация. Такие системы, известные под названием систем с перемешиванием, были впервые исследованы Хопфом. [54]

Pn, которые могут быть выбраны в соответствии с произвольными начальными условиями. В действительности эти постоянные являются координатами той фиксированной точки Q /, Р -, которая преобразуется в движущуюся точку qL, pt; движение последней обусловлено тем, что наше преобразование зависит от времени. В результате оказывается, что в явной форме описано все движение фазовой жидкости. При этом координаты QiPi играют роль произвольных постоянных интегрирования. [55]

Страницы: 1 2 3 4