Cтраница 2
Другой подход к обсуждаемому вопросу связан с применением критерия Бендиксона. Применим этот критерий к системе ( IV, II), относящейся к случаю протекания реакции первого порядка. [16]
Тогда доказывается ( к р и т е-рий Пуанкаре - Бендиксона), что если Г - траектория системы ( 122), которая в начальный момент времени t - tn выходит из точки, леокащей в области D, и остается в D при всех f t0, то траектория Г либо сама является замкнутой траекторией, либо с течением времени она по спирали приближается к замкнутой траектории. Здесь D состоит из двух замкнутых кривых F. [17]
В противном случае, когда рзрл 0, примс-шм критерий Бендиксона отсутствия предельных циклов: в рассматриваемой области дивергенция векторного поля ( рз р - х -) не меняет знак. [18]
При этом очевидно, что для некоторого конечного i q ( Бендиксон, стр. Это уравнение в переменных Хр и у8 имеет характеристику, обладающую тем свойством, что при любом целом г отношение xq / yrs стремится к нулю при xq и г / 8, стремящихся к нулю. [19]
Структура ю-предельного множества векторного поля на S2 описывается теоремой Пуанкаре - Бендиксона, доказательство которой мы сейчас приведем, разбив его на ряд лемм. [20]
Большое значение для изучения фазовой картины семейства характеристик имеет следующая теорема Бендиксона, выясняющая одно глобальное свойство циклов. [21]
Рассмотрим некоторые дополнительные результаты, имеющие отношение к теореме Пуанкаре - Бендиксона. Подробного и полного исследования мы проводить здесь не будем, так как это увело бы нас далеко в сторону. [22]
При В ( х, ) н1 сформулированный признак называют признаком Бендиксона. [23]
Подробный анализ показывает, что SP4 и SP6 являются особыми точками типа Бендиксона и совершенно неустойчивы, a SP5 - это вырожденный узел. Если SP3 неустойчиво, то должен существовать устойчивый предельный цикл. [24]
Дополнительная важная информация о локализации рассмотренного решения проистекает из так называемого негативного критерия Бендиксона ( см. [122], гл. [25]
Второе свойство дивергенции состоит в следующем: ( 15 - 1) Критерий Бендиксона. Если divF сохраняет постоянный знак ( нуль исключается) в замкнутом двумерном элементе, Q, то Q не содержит ни предельных циклов, ни даже овалов, начинающихся и кончающихся в особой точке. [26]
На ориентируемой поверхности Левитт [77] рассмотрел кривые, которые получаются односторонним продолжением по Бендиксону сепаратрис особенностей ( так называемых обобщенных слоев), и доказал, что они также имеют асимптотическое направление. [27]
Цилиндр диффеоморфен кольцу на плоскости и поэтому предельное поведение траекторий на нем описывается теорией Пуанкаре - Бендиксона ( § 1 гл. В соответствующих доказательствах на самом деле не существенно, определено ли поле на всей плоскости. [28]
Главы 1 и 2 носят общий характер; они излагают классические результаты Ляпунова, Пуанкаре, Бендиксона, Биркгофа и содержат, кроме того, новые основные исследования различных авторов. [29]
Фундамент такого исследования был заложен еще Пуанкаре, однако результаты Пуанкаре были существенно обобщены, улучшены и уточнены Бендиксоном. [30]