Cтраница 4
Левинсон и Смит доказали ряд теорем, используя прием, основанный на теореме Пуанкаре - Бендиксона. [46]
Если такая полная топологическая характеристика траекторий у нас есть, тем более если она построена для всех особых точек ( а), то тогда можно дать ответ на любой вопрос об устойчивости системы, какое бы разумное содержание не вкладывалось в избранное определение устойчивости. Очевидно, не составляет труда перевести, скажем, все те результаты, которые получены Пуанкаре и Бендиксоном для систем вида ( а), на язык теории устойчивости. Работы Пуанкаре указаны выше, работа Бендиксона относится к 1901 г. Некоторые существенные дополнения к результатам Пуанкаре и Бендиксона принадлежат французскому математику А. [47]
В ( р) является непустым подмножеством М у. Так как слоение U ( A:) не имеет особых точек, то, согласно теории Пуанкаре - Бендиксона, ш-предельное множество для В ( р) должно быть окружностью в М у. Но это, очевидно, невозможно, так как любое неустойчивое многообразие является образом прямой при инъективной иммерсии. [48]
Вопросы существования периодических решений нелинейных уравнений к настоящему времени практически не разработаны. Укажем здесь на работы [176], в первой из которых приведен критерий отсутствия периодических решений у автономного уравнения, обобщающий критерий Бендиксона, во второй даны некоторые условия существования периодических решений. В работе [237] рассмотрены малые периодические решения гамиль-тоновых систем. [49]
В данной книге поведение траекторий потоков на поверхности рассматривается более или менее систематически только для грубых систем, если не считать случая Sa, к которому относится теорема Пуанкаре - Бендиксона ( гл. В действительности и для других замкнутых поверхностей имеется достаточно продвинутая теория, сравнимая по общности и определенности своих заключений с теоремой Пуанкаре - Бендиксона. [50]
Отметим, что если I является нетривиально рекуррентной траекторией только в положительном направлении, но не является нетривиально рекуррентной в отрицательном, то к / надо добавить ее продолжения по Бендиксону в отрицательном направлении. Так как / С / является нетривиально рекуррентной положительной полутраекторией и / имеет конечное число точек покоя, то конечное число продолжений по Бендиксону приведет к траектории, которая является о-сепаратрисой некоторой точки покоя и нетривиально рекуррентной траекторией в отрицательном направлении. Доказательство в этом случае аналогично рассмотренному, поскольку к предыдущей траектории / фактически добавляется конечное число сепаратрисных связей, образующих вместе с соответствующими точками покоя компактное множество. [51]