Cтраница 3
Мы начинаем качественное изучение векторных полей с понятия а - и - предельных множеств и доказываем важную теорему Пуанкаре - Бендиксона. [31]
Следует, однако, отметить, что в общем случае системы вида ( 122) практическая реализация критерия Пуанкаре - Бендиксона встречает большие трудности, ибо нет общих методов построения соответствующих областей, и поэтому успех зависит как от вида системы, так и от опыта исследователя. Вместе с тем необходимо иметь в виду, что отыскание признаков отсутствия предельных циклов не менее важная задача, чем нахождение критериев их существования. [32]
Чтобы обойти затруднения, которые могут возникнуть в случае, когда PL касается кривой С в точке Л /, достаточно заметить ( Бендиксон, стр. [33]
Для доказательства существования предельного цикла строят, как обычно, кольцевую область вокруг единственной особой точки фазовой картины - начала координат, соответствующую теореме Бендиксона. Эти условия мы обсудим в дальнейшем. [34]
Если в некоторой односвязанной области на фазовой плоскости выражение дР / дХ dQ / dy имеет постоянный знак, то не существует замкнутых контуров, т.е. выполнено условие Бендиксона. В системе (4.109) дР / д 80 3Q / dQH всегда отрицательно, то есть нет предельных циклов и существует единственное устойчивое состояние типа узла или фокуса. [35]
В данной книге поведение траекторий потоков на поверхности рассматривается более или менее систематически только для грубых систем, если не считать случая Sa, к которому относится теорема Пуанкаре - Бендиксона ( гл. В действительности и для других замкнутых поверхностей имеется достаточно продвинутая теория, сравнимая по общности и определенности своих заключений с теоремой Пуанкаре - Бендиксона. [36]
Отметим, что если I является нетривиально рекуррентной траекторией только в положительном направлении, но не является нетривиально рекуррентной в отрицательном, то к / надо добавить ее продолжения по Бендиксону в отрицательном направлении. Так как / С / является нетривиально рекуррентной положительной полутраекторией и / имеет конечное число точек покоя, то конечное число продолжений по Бендиксону приведет к траектории, которая является о-сепаратрисой некоторой точки покоя и нетривиально рекуррентной траекторией в отрицательном направлении. Доказательство в этом случае аналогично рассмотренному, поскольку к предыдущей траектории / фактически добавляется конечное число сепаратрисных связей, образующих вместе с соответствующими точками покоя компактное множество. [37]
Результаты, полученные Пуанкаре о возможном поведении и формах характеристик уравнения первого порядка и их соотношении между собой, изложенные в первых двух его мемуарах, были обобщены в работе норвежского математика Бендиксона), применившего методы теории множеств. [38]
Если вокруг особой точки фазовой картины можно построить п 1 вложенных друг в друга замкнутых кривых C ( i) ( l li n l) таких, что они попарно ограничивают кольцевые области Бендиксона, то существуют по меньшей мере п предельных циклов. [39]
Бендиксона [ 11 и Фраг-мена [1], которым пришлось прибегать не только к указанному Серпинским утверждению, но и к его аналогу для больших мощностей, к методу последовательных разбиений области и даже к принципу селекции, начнем с рассмотрения работы Кантора [10], предварительно заметив следующее. [40]
U, то U является двумерным элементом. Этим завершается доказательство теоремы Бендиксона. [41]
Докажите, что если внутри и на самой замкнутой кривой L с непрерывно вращающейся касательной нет особых точек поля, то в точках на линии L направление поля по крайней мере два раза совпадает с направлением касательной к L и по крайней мере два раза с направлением нормали к L. Отсюда, в частности, следует теорема Бендиксона о том, что внутри замкнутой интегральной линии должна быть по крайней мере одна особая точка поля. [42]
Борель, разумеется, знал о ней, прямо ссылаясь на соответствующую работу Бендиксона, но, считая ее доказательство слишком длинным ( с. [43]
Достаточность этого условия очевидна; проверим его необходимость. Тогда дуга afal траектории 1ао и дуга ala0 линии L вместе ограничивают мешок Бендиксона, так как эта линия без контакта и потому все траектории пересекают ее в одном направлении. [44]
Качественные геометрические результаты, относящиеся к решениям системы ( С), которые здесь будут изложены, непосредственно следуют из досконального исследования этих предельных множеств для случая полутраектории, которая остается внутри некоторого компактного подмножества К множества D. Это исследование приводит к одной из немногих весьма общих теорем ( теорема Пуанкаре - Бендиксона), которая утверждает существование периодических решений для ( нелинейной) системы дифференциальных уравнений. [45]