Cтраница 4
Более того, если разбить решение w Re / ( 9) на два вещественных слагаемых: и - i ( 6) u2 ( 6), где ui ( 9) продолжено во внешность круга 2 - f - / п2 а2 вдоль полукасательных I, a ма ( 9) - вдоль полукасательных II, то влрвь получается некоторое вещественное решение уравнения (9.1), непрерывно продолженное во внешность круга через границу. Таким образом, по существу имеется бесчисленное множество различных способов продол жения, причем при всех этих продолжениях сохраняется непрерывность решения при переходе через окружность. В конкретных задачах способ продолжения определяется из рассмотрения движения фронта волны. [46]
Практически это делается следующим образом. Устанавливаются исходные значения Т0 и & У2 и определяются показатели качества tu и а. Затем одному из этих параметров дается небольшое приращение в какую-либо сторону, а второй параметр варьируется так, чтобы привести показатели качества к прежним величинам. В силу свойства непрерывности решения дифференциального уравнения, описывающего систему в области ее устойчивой работы, изложенная процедура занимает сравнительно немного времени, если не давать слишком больших приращений параметров. Целесообразно также наложить на экран осциллографа прозрачную сетку с нанесенными значениями показателей качества, что позволит ограничиться визуальными наблюдениями отдельных переходных процессов без их фиксирования. [47]
Будет предполагаться, что структура разрыва может быть описана системой обыкновенных дифференциальных уравнений, являющихся следствием полной системы уравнений в частных производных при условии, что решение зависит от одной переменной % - х Wt, где х - пространственная переменная, изменяющаяся вдоль нормали к волновому фронту, W - скорость разрыва, a t - время. Для построения структуры разрыва ниже рассматриваются два множества решений обыкновенных дифференциальных уравнений, а именно множество решений, стремящихся к постоянным значениям при % - ос или % - - ос. Каждое из этих множеств зависит не только от скорости разрыва W и величин, задающих решение при % ос или % - ос, но также от произвольных констант С или С, характеризующих процесс изменения величин внутри структуры. Простейший вариант такого сращивания представляет собой требование непрерывности решения. [48]
Таким образом, класс полученных решений отличается большим многообразием даже при одном и том же граничном условии на поджигающей цилиндрической поверхности - постоянной температуре поверхности. Неединственность решения наблюдается при значениях параметров, отличающихся от критических значений: решений задачи либо два, либо решение отсутствует вовсе. Критические значения параметров - радиус цилиндрической поверхности, тепловые потоки на оси цилиндра и на большом расстоянии от поверхности поджигания - соответствуют, таким образом, точкам бифуркации решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Вблизи этих точек существуют два бесконечно близких решения задачи; при анализе устойчивости решений по отношению к малым возмущениям это дает основание считать ( см. обсуждение в конце § 3 главы 2), что в спектре собственных значений соответствующих задач Штурма-Лиувилля в этих точках будут появляться собственные значения, равные нулю. Поскольку для исходной конкретной ситуации, например для внешней задачи поджигания цилиндрической поверхностью, точка бифуркации одна, то из соображений непрерывности решения следует ожидать, что нулевое собственное значение является первым в ряду собственных значений и точка бифуркации отвечает границе области устойчивости решений. Но, конечно, для ответа на вопрос, какое из двух решений является устойчивым, необходимо более подробное аналитическое или численное исследование. [49]
Решение краевой задачи (2.2.4) назовем [1] корректным, если оно является непрерывной функцией всех параметров задачи почти всюду в области изменения независимых переменных х и у. Остается проверить непрерывность решений на границах областей существования. Нетрудно найти, что в областях I и II решение (2.2.33) - (2.2.35) является некорректным, так как на прямой AGF оно не переходит в известное осе-симметричное решение исходной задачи. С этой точки зрения решение (2.2.24) является корректным всюду в областях существования / / и III, так как при а & г оно непрерывно переходит в осесимметричное решение. Вопрос же о непрерывности решения краевой задачи (2.2.4) на границе GB С остается открытым, так как решение упругопластической задачи при частичном охвате кругового отверстия пластической зоной неизвестно. Априори предполагаем решение (2.2.24) непрерывным на границе GBCH, а решение (2.2.33) - (2.2.35) - непрерывным на отрезке НЕ. [50]