Cтраница 3
В силу равномерной непрерывности ( p ( t) на [ c d ] отсюда следует равностепенная непрерывность всех решений. [31]
Так как zt и z2 - возрастающие функции относительно pt, то все условия вышеупомянутого критерия равностепенной непрерывности выполнены. [32]
Следующие теоремы устанавливают тесную связь понятия равномерной сходимости последовательности непрерывных функций с понятиями равномерной ограниченности и равностепенной непрерывности. [33]
Из оценки (4.19) следует равномерная ограниченность семейства xm ( t), а из соотношения (4.18) - равностепенная непрерывность этого семейства. [34]
Мы видим, что при доказательстве сходимости последовательности аппроксимаций Паде к мероморфной функции использовалось прежде всего свойство равностепенной непрерывности этой последовательности. Результаты такого характера наиболее естественно формулируются в терминах сходимости на сфере Римана. К ним принадлежит и заключительная теорема этого параграфа, в которой, однако, используется обычная сходимость. [35]
Пусть е - какое-либо заданное положительное число и б - соответствующее ему число, входящее в определение равностепенной непрерывности. В каждой точке конечного множества точек т последовательность () имеет предел. [36]
Другими словами, справедливость оценок (37.1) и их равномерность в рассматриваемом частном случае уже не связываются с равностепенной непрерывностью семейства функций йу. Доказательство этой теоремы содержится в старой работе Бернштейпа 12, стр. [37]
Теорема 4 ( принцип равномерной ограниченности) допускает простое обобщение на так называемые F-пространства и носит название принципа равностепенной непрерывности. [38]
Доказательство этой общей теоремы существования для задачи Коши получается объединением стандартных численных методов с довольно простым случаем применения понятия равностепенной непрерывности; подобные методы стали шаблонными в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Эта теорема, в несколько иной форме, приводится в книге Каратеодори о функциях действительного переменного, опубликованной более пятидесяти лет назад, так что она является стандартной и даже классической. Однако эта теорема всегда казалась какой-то кривобокой, так как в ней предполагается непрерывность по х, а по t - всего лишь измеримость; только в рамках современной теории оптимального управления это стало естественным, так что в этом смысле она весьма современна. До последнего времени для приложеньй было вполне достаточно более старой теоремы существования, приведенной в § 19 гл. [39]
Для линейных отображений предположения бочечности или ультрабочечности области определения позволяют получать сильнейшие возможные результаты, в данном случае - равностепенную непрерывность. [40]
О бесконечных последовательностях функций ( 1907), что равномерная ограниченность последовательности аналитической функции в некоторой области влечет за собой равностепенную непрерывность функций этой последовательности в каждой области G, содержащейся вместе со своей границей в области G. Теоремы Стильтьеса, Витали и Портера являются простыми следствиями из компактности последовательности / п ( г) Ь а также из классической теоремы единственности аналитических функций. [41]
Тогда можно оценить независимо от п распределение модуля непрерывности случайной траектории и показать, что со сколь угодно большой вероятностью имеет место равностепенная непрерывность. [42]
Семейство нормированных функций, осуществляющих квазиконформные отображения единичного круга на себя, компактно при p ( z): 7const ввиду их равностепенной непрерывности. Из всякой последовательности отображений можно выбрать подпоследовательность, равномерно сходящуюся к некоторому предельному отображению. В силу неравенства ( 20), сохраняющего, очевидно, силу и при предельном переходе, предельное отображение будет гомеоморфным. Однако неясно, каковы будут его дифференциальные свойства, которые вовсе не обязаны сохраняться при предельном переходе. Здесь выручает оценка искажения круга. Так как последняя справедлива не только в малом, но и в целом, то D-свойство сохраняется и для предельной функции. Этот факт был обнаружен Д. Е. Меньшовым при доказательстве теоремы о том, что всякое гомео-морфное отображение, переводящее бесконечно малый круг в круг, в смысле определения 1, осуществляется аналитической функцией. [43]
Для того чтобы показать, что Ф - компакт, достаточно показать, что Ф замкнуто в Co ( D) и для элементов Ф имеет место равностепенная непрерывность. [44]
Приведенное доказательство не проходит при т 3, так как равномерная ограниченность величин UW и LM 2) для всех функций некоторого семейства уже не влечет за собой равностепенную непрерывность этих функций. [45]