Cтраница 4
В теореме 5.2.3 установлена равномерная ограниченность в Й ( А) последовательности аппроксимаций Паде [ УИ У / М ] ряда Стиль-гьеса, а в теореме 5.2.4 - равностепенная непрерывность этой последовательности. [46]
Для того чтобы доказать существование последовательности приближенных решений, сводящейся к решению уравнения ( У) при единственном предположении: / еС на R, необходимо ввести понятие равностепенной непрерывности. [47]
Равномерная ограниченность множества QGd / dl следует из аналитичности функций G & по Z и равномерной ограниченности множества Ga - Из равномерной ограниченности всех первых частных производных функции Оь следует равностепенная непрерывность функций множества Сь - ( Если п1, то функции множества G & - / равностепенно непрерывны. Это завершает доказательство леммы. [48]
В условиях теоремы Банаха - Штейнгауза семейство pi iei оказывается ограниченным на некоторой окрестности нуля ( в случае банахова Е - на каждом шаре), ввиду чего саму теорему часто называют принципом равномерной ограниченности ( в случае банахова пространства получаем рг ( х С х ( Cconst; / 6 /), или, что эквивалентно, - ограниченность норм для семейства ргЬе /) - Равномерная ограниченность семейства полунорм в любом ЛТП эквивалентна равностепенной непрерывности. [49]
Очевидно, что равностепенно непрерывное множество Я с: L ( X, Y) ограничено в любой - топологии. Действительно, равностепенная непрерывность Н означает, что для любой полунормы р на Y существуют такие полунорма q на X и С0, что p ( Tx) Cq ( x) ух. [50]