Cтраница 2
Отметим, однако, что для незнакоопределенных потенциалов ( строгое) неравенство Харнака не служит достаточным условием принадлежности V классу Kv - Известны примеры сильно осциллирующих потенциалов, не лежащих в Kv, для которых тем не менее ехр ( - tff) - ограниченная в Z00 полугруппа. [16]
Рассматривая шары с центром в у GD П ЭП, применяя вместо внутреннего неравенства Харнака ( теорема 8.18) слабое граничное неравенство Харнака ( теорема 8.26) и повторяя доказательство, изложенное в предыдущем разделе, получим граничную оценку Гельдера для тангенциальных производных и. [17]
Для неотрицательных решений этих уравнений мы сначала докажем неравенство Харнака, аналогичное неравенству Харнака для эллиптических уравнений. [18]
Объединяя теорему 9.22 с оценкой субрешения ( теорема 9.20), мы получаем неравенство Харнака. [19]
Применяя такие же рассуждения, как и при доказательстве теоремы 2.5, можно получить неравенство Харнака для произвольных областей пространства R2 в еле дующем виде. [20]
С помощью рассуждений, аналогичных рассуждениям в доказательстве теоремы 2.6, из теоремы 8.20 выводится неравенство Харнака следующего вида. [21]
Включается большой разнородный материал, значительная часть которого в монографии излагается впервые: современное изложение неравенства Харнака, оценки Морри и Джона - Ниренберга, теоремы Лере - Шаудера, значительная часть результатов о квазилинейных уравнениях. [22]
Рассматривая шары с центром в у GD П ЭП, применяя вместо внутреннего неравенства Харнака ( теорема 8.18) слабое граничное неравенство Харнака ( теорема 8.26) и повторяя доказательство, изложенное в предыдущем разделе, получим граничную оценку Гельдера для тангенциальных производных и. [23]
Интересные и важные оценки Гельдера для следа градиента решения на границе могут быть получены из внутренних ( или слабых) неравенств Харнака. Этот результат был доказан Крыловым [135] в связи с его исследованиями вполне нелинейных уравнений, которым будет посвящен раздел 17.8. Для этих приложений достаточно ограничиться рассмотрением плоского куска, лежащего на границе, на котором решение обращается в нуль. [24]
Значит, если бы мы могли доказать, что оба неравенства ( 62) и ( 63) выполняются одновременно, мы получили бы доказательство неравенства Харнака. Это действительно так: при некотором К, зависящем от е и п, оба эти неравенства выполнены одновременно. [25]
D Заметим, что постоянная в ( 2 8) инвариантна относительно преобразований подобия и ортогональных преобразований. Неравенство Харнака для слабых решений однородных эллиптических уравнений будет доказано в гл. [26]
Доказательство обобщений неравенства Харнака ( теорема ЗЛО), и следствия 3.12 на случай больших размерностей дано в гл. Другие виды неравенства Харнака для уравнений дивергентного вида и их приложения приведены в гл. [27]
Следующее неравенство очень полезно, так как оно количественно реализует принцип максимума, устанавливая допустимые вариации неотрицательной гармонической функции. Приводимая нами версия неравенства Харнака не самая совершенная, зато доказательство ее несложно. [28]
Этот результат был переоткрыт Саймоном [332], доказавшим его совсем другим способом и при более широких предположениях относительно V. Приводимое ниже доказательство по существу представляет собой доказательство Шноля, распространенное на V e Кч с помощью неравенства Харнака. [29]
С той поры список свойств таких уравнений значительно расширился и расширились классы уравнений, для которых они установлены. Так, неравенство Харнака и связанные с ним свойства не предъявляют к уравнению ( 1) и ( 2) никаких других требований, кроме равномерной эллиптичности н ограниченности коэффициентов. Для существования фундаментального решения равномерно эллиптического уравнения требуется лишь, чтобы главная часть была дивергентной и коэффициенты ограничены. Для единственности решения задачи Коши нужна гладкость коэффициентов только при старших членах. [30]