Cтраница 4
ЗС для всех у G Ж и обратные операторы ( 1 - Т) 1 и ( 1 - Г) 1 ограничены. Если X G Л, ) то нуль-пространства операторов I-Tu I-T имеют положительные конечные размерности и уравнения (5.13) разрешимы тогда и только тогда, когда элемент у ортогонален нуль-пространству оператора 1 - Г в первом случае, и нуль-пространству оператора 1 - Т - во втором. [46]
Таких решений в действительности должно быть бесконечно много, так как любое кратное сх решения х также будет удовлетворять исходной системе. И если имеются дополнительные свободные переменные, то нуль-пространство становится больше, чем прямая n - мерного пространства. Точнее говоря, нуль-пространство является подпространством, размерность которого равна числу свободных переменных. [47]
Далее, предположим обратное, что А существенно обратим слева. По теореме Аткинсона следует, что А имеет конечное нуль-пространство и что сужение А на ker1 А обратимо. [48]
Показать, что матрица АВ имеет те же самые нуль-пространство, пространство строк и ранг, что и матрица В. [49]
При использовании теоремы 14.2 следует соблюдать известную осторожность. При этом дефект его области значений не изменится, но размерность нуль-пространства может увеличиться. Более того, в приложениях оператор / UT часто имеет естественное расширение на все пространство Е, для которого уже оба указанные числа могут иметь другие значения. Поэтому пользоваться теоремами о связи между числами п ( А), d ( А) их ( А) с соответствующими числами для полученного канонического фредгольмова уравнения можно лишь с учетом указанных обстоятельств. Если оператор А определен на всем пространстве, то необходимость в указанных предосторожностях отпадает. [50]
О, одинаковый спектр; трудность с 0 в том, что даже если данное преобразование имеет обратное, то последнее всегда обладает бесконечномерным нуль-пространством. Здесь одно из нескольких мест в математике, когда использование ядра вместо нуль-пространства может привести к недоразумению. С точки зрения тензорных произведений операторов Int ( k k) Int k Int k, поэтому данное замечание становится алгебраически очевидным. [51]
Если сама матрица А вырожденна, то одна возможность состоит в том, чтобы вообще не производить сдвига. Одно из собственных значений вырожденной матрицы есть К 0, и ее нуль-пространство содержит соответствующие собственные векторы. Но в отличие от первой части книги в вырожденности матрицы теперь нет ничего особенного; это означает лишь, что А, 0 является собственным значением этой матрицы. Является ли А вырожденной или нет, все ее собственные значения равноправны: комбинация А - hi вырожденна и нуль-пространство этой комбинации есть пространство собственных векторов, соответствующих К. [52]