Cтраница 4
Это множество называют областью определения оператора. Множество функций, которые получаются в результате действия оператора на функции, принадлежащие 25, называют областью значений оператора. [46]
В частности, если возмущение V Н2 - Я4 не является ядерным, то наблюдаются всевозможные интересные новые явления, относящиеся к этим пределам. В простейшем случае, когда HI имеет абсолютно непрерывный спектр, пределы W могут существовать, но ортогональное дополнение к области значений операторов W скорее всего будет бесконечномерным. Эта ситуация имеет место в квантовомеханической задаче трех тел, изученной Фаддеевым в указанной далее статье. [47]
Множество К ( А) с Е2 всех элементов вида у Ах, где х Si ( А), называется областью значений оператора. [48]
Использование функций от оператора задачи для построения аппроксимаций типа (4.1), (4.2) и линейных РА на их основе возможно и в банаховом пространстве. Однако при этом возникают существенные затруднения, связанные с тем, что для операторов, действующих в банаховых пространствах, нет такого же богатого операторного исчисления, как в случае гильбертовых пространств, даже если область определения и область значений оператора лежат в одном и том же пространстве В. [49]
Естественно, мы предполагаем, что число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В, иначе их нельзя было бы перемножить. Пусть А есть / яхл-матрица, а В есть л Хр-матрица. Область значений оператора АВ в силу самого его определения содержится в области значений оператора А. Поскольку согласно 4.61 размерность области значений любого оператора равна рангу соответствующей матрицы, мы получаем, что ранг произведения двух матриц не превосходит ранга первого множителя. В рангу В, что и требуется. [50]