Cтраница 4
Теорема 12.12. Область D ( Cn, аналитически выпуклая в смысле Гартогса, во всех точках своей границы является областью голоморфности. [46]
I, между прочим, вытекает, что существуют ( и притом даже однолистные) области, не являющиеся областями голоморфности. [47]
Заметим, что, поскольку каждую область голоморфности можно построить описанным выше способом, во всякой области, являющейся подобластью области голоморфности, всегда существует голоморфная функция, имеющая в каждых двух аналитических точках с одинаковыми координатами различные функциональные элементы. Эти функциональные элементы, будучи различными, могут иметь в указанных точках одинаковые значения, если начальные члены степенных рядов, которые их определяют, совпадают. Тогда мы возьмем производные надлежащего порядка от этих рядов, что не изменит областей их сходимости. С помощью новых рядов мы определим в рассматриваемой области голоморфную функцию, принимающую в наших точках с одинаковыми координатами различные значения. [48]
Жюлиа привели к так называемой гипотезе Жюлиа о том, что области равномерной сходимости первого рода и области нормальности первого рода являются областями голоморфности, а второго рода - областями мероморфности. Утвердительный ответ на эту гипотезу был получен А. [49]
Последние результаты были существенно уточнены в работе Р. О. Кузьмина [1], которым были даны асимптотические формулы для коэффициентов формул Котеса и был установлен точный вид области голоморфности функций, обеспечивающей сходимость формул Котеса. В этой работе он дает выражение остаточного члена в виде интеграла по подходяще выбранному контуру, притом выражение настолько точно, что в конкретных случаях оно дает не только правильную оценку порядка, но и два первых знака остаточного члена. [50]