Cтраница 3
Рассмотрим односвязную область GI c G. [31]
Выбирая произвольную односвязную область G, не содержащую нулевой точки, например всю плоскость, за исключением действительной отрицательной оси ( х О), мы знаем, что каждая ветвь Inz будет в этой области однозначной функцией. [32]
Возьмем произвольную односвязную область D, лежащую строго внутри области D. Из сказанного выше следует, что функция p ( z) непрерывна в области D, а интеграл от нее по любой спрямляемой кривой, лежащей в области D, зависит только от начальной и конечной точек этой кривой. Поскольку D - произвольная односвязная часть области D, теорема доказана. [33]
Пусть дана односвязная область G и две спрямляемые кривые / i и / 2, целиком лежащие в G и имеющие общие концы А и В. [34]
Заданы две односвязные области D и А; требуется построить функцию w f ( z), реализующую конформное отображение одной из этих областей на другую. [35]
Пусть дана односвязная область G и две спряМ ляемые кривые 1г и / 2, целиком лежащие в G и имеющие общие концы А и В. [36]
Пусть дана односвязная область G и две спрямляемые кривые / 1 и / 2, целиком лежащие в G и имеющие общие концы А и В. [37]
Здесь рассматриваются только односвязные области. [38]
Теорема 2.8.7. Односвязная область D плоскости ху не содержит циклов, если в этой области нет особых точек. [39]
Для случая односвязной области мы уже многократно пользовались тем, что задача Дирихле разрешима и притом единственным образом. Это же справедливо и для формулированного случая многосвязной области, если только на искомую функцию не накладывать дополнительных условий. В некоторых приложениях ( в том числе и для наших дальнейших исследований) требуется, чтобы искомая функция была не просто гармонической, но, кроме того, была действительной частью однозначной аналитической функции. Вообще говоря, она является действительной частью неоднозначной аналитической функции. При этом дополнительном условии задача Дирихле оказывается в общем случае неразрешимой. Для того чтобы сделать ее разрешимой, нужно в задание функции на контуре ввести некоторые произвольные элементы, что приводит к так называемой видоизмененной задаче Дирихле. [40]
Для случая односвязной области мы уже многократно пользовались тем, что задача Дирихле разрешима и притом единственным образом. Это же справедливо и для формулированного случая многосвязной области, если только на искомую функцию не накладывать дополнительных условий. В некоторых приложениях ( в том числе и для наших дальнейших исследований) требуется, чтобы искомая функция была не просто гармонической, но, кроме того, была действительной частью однозначной аналитической функции. Вообще говоря, она является действительной частью неоднозначной аналитической функции. При этом дополнительном условии задача Дирихле оказывается в общем случае неразрешимой. Для того чтобы сделать ее разрешимой, нужно в задание функции на контуре ввести некоторые произвольные элементы, что приводит к так называемой видоизмененной задаче Дирихле. [41]
Если в односвязной области существует ( p ( zj, то интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в этой области равен нулю. [42]
Если в односвязной области существует повсюду конечный потенциал скоростей, то он однозначен. Ток между двумя точками А и В не зависит тогда от пути, в циркуляция по замкнутому контуру равна нулю. [43]
В случае односвязной области, конформное отображение позволяет свести общую задачу о граничных свойствах к изучению функций, аналитических в круге. Однако для некоторых теорий, например, для теории интеграла Коши, целесообразно проводить исследование непосредственно в более общих областях, ограниченных произвольными спрямляемыми кривыми. [44]
В случае односвязных областей операторы ГИУ 1 Я и 11 Я, 1 Я и IP Я попарно совпадают, а операторы ГИУ 1 Я и 1 Н, П Я и П Я являются попарно сопряженными. [45]