Cтраница 3
Говорят, что многоугольники ж, отличные друг от друга и от контуров, образуют непересекающуюся систему, если, изменяя бесконечно мало эти многоугольники, можно получить простые замкнутые кривые, не имеющие друг с другом общих точек и лежащие целиком внутри полиэдрической области. [31]
Некоторые из контуров могут иметь кратные точки, но от этой особенности легко избавиться, изменив надлежащим образом триангуляцию в окрестностях кратных точек и расширив Р в этих окрестностях. Число контуров полиэдрической области Р при этой операции может увеличиться, но зато все они станут простыми. [32]
Тогда получим полиэдрическую область нулевого рода с jj, 2g контурами. [33]
Все сводится к тому, чтобы показать, что полученная таким способом полиэдрическая область И будет подобна однолистной. Но б есть сумма полиэдрических областей Si и 82, полученных разрезанием соответствующих им областей DI и Д вдоль фундаментальных кривых, и каждая из этих частей 5 подобн а однолистной области. [34]
В предположении, что число Y конечно, то есть что род S конечен. Но S можно рассматривать как полиэдрическую область и отобразить канонически на D. На таком образе S при помощи очень простых рассуждений сразу видно, что число ft может быть только конечным. [35]
Поверхность 5 конечного рода обладает лишь граничными элементами первого рода. Это легко показать, рассмотрев аппроксимирующие полиэдрические области. Один из элементов непременно будет иметь тот - же род, что и S, а значит, и все следующие полиэдрические области тоже. Следовательно, компоненты S - Р для достаточно больших п будут поверхностями, подобными однолистным. Всякий граничный элемент, не являющийся элементом первого рода, называется элементом второго рода. [36]
В результате конечного числа операций получим полиэдрическую область, которая либо удовлетворяет условию 3, имея несколько контуров, либо имеет всего один контур. Обозначив через Г /, некоторый контур полиэдрической области РО, рассмотрим все треугольники, имеющие с 1 общую вершину или сторону. [37]
Керекьярто, цитируемая выше работа, стр. Для неориентируемых поверхностей достаточно присоединить четвертый тип неориентируемых полиэдрических областей. [38]
Рассмотрим треугольник Т0 и все треугольники, имеющие с ним общую вершину или общую сторону. Эти треугольники ( включая Г0) образуют полиэдрическую область Q, которую мы в случае надобности изменим так, чтобы ее контуры были простыми ( см. стр. Если Q удовлетворяет условию 3, то мы возьмем ее в качестве PQ. Полиэдрическая область Q вместе с этой цепью образует полиэдрическую область Q с меньшим, чем у Q, числом контуров. В самом деле, два контура из Q и края соединяющей их цепи треугольников образуют вместе один контур. Таким образом, два контура из Q заменены одним контуром в Q и к другим контурам из Q не прибавилось ни одного нового. [39]
Трансверсалъю называется простая замкнутая кривая, лежащая в данной полиэдрической области целиком, кроме своих двух концов, расположенных на граничных кривых этой области. Например, на рис. 52, изображающем полиэдрическую область нулевого рода с тремя граничными кривыми, проведенные пунктиром линии являются трансверсалями. [40]
Каждая Wt является также полиэдрической областью, и, взяв VQ в качестве основной поверхности ( вместо рассматривавшейся до сих пор области W0), мы можем применить доказанные теоремы к каждой области WL в отдельности. Здесь роль W0 играет сама V0, которая является полиэдрической областью. [41]
Полиэдрические области часто называют поверхностями с краями. Мы избегаем этого выражения, которое могло бы привести к недоразумению: полиэдрическая область не является, вообще говоря, поверхностью в принятом здесь смысле. [42]
Отсюда заключаем, что две полиэдрические области одного и того же рода и с одинаковым числом контуров гомеоморфны. Эта теорема справедлива, в частности, и для / 0, то есть в случае, когда полиэдрические области Р и Р являются замкнутыми поверхностями. Она подводит нас вплотную к решению проблемы гомеоморфизма для замкнутых поверхностей. [43]
Замкнутая ломаная - это простая замкнутая кривая, состоящая из сторон триангуляции. Всегда можно предполагать, что контуры полиэдрической области не пересекаются, так как от возможных общих точек можно избавиться путем соответствующего изменения триангуляции и увеличения области в окрестностях этих точек. Полиэдрические области называются также поверхностями с краем, хотя они и не являются поверхностями в принятом здесь смысле, так как они HR локально евклидовы на своих контурах. [44]
Предположим, что отображение осуществлено так, чтобы не перекрывалась область DU. В самом деле, Pfc i Pft Гй 1, где Th i отделен от Ph контуром тг полиэдрической области Pft, с которым TM имеет общую сторону. [45]