Cтраница 4
Поверхность 5 конечного рода обладает лишь граничными элементами первого рода. Это легко показать, рассмотрев аппроксимирующие полиэдрические области. Один из элементов непременно будет иметь тот - же род, что и S, а значит, и все следующие полиэдрические области тоже. Следовательно, компоненты S - Р для достаточно больших п будут поверхностями, подобными однолистным. Всякий граничный элемент, не являющийся элементом первого рода, называется элементом второго рода. [46]
Рассмотрим триангуляцию поверхности S, построенную таким образом, чтобы каждый контур D был замкнутой ломаной, состоящей из сторон этой триангуляции. Отображение J i мы построим так, чтобы J 0 и J l совпадали на L1 и J l переводило вершины TI в вершины 7V Таким образом, полиэдрическая область DI Т0 U Т отображается топологически на плоскую область DI TQ U TI. [47]
Замкнутая ломаная - это простая замкнутая кривая, состоящая из сторон триангуляции. Всегда можно предполагать, что контуры полиэдрической области не пересекаются, так как от возможных общих точек можно избавиться путем соответствующего изменения триангуляции и увеличения области в окрестностях этих точек. Полиэдрические области называются также поверхностями с краем, хотя они и не являются поверхностями в принятом здесь смысле, так как они HR локально евклидовы на своих контурах. [48]
Рассмотрим треугольник Т0 и все треугольники, имеющие с ним общую вершину или общую сторону. Эти треугольники ( включая Г0) образуют полиэдрическую область Q, которую мы в случае надобности изменим так, чтобы ее контуры были простыми ( см. стр. Если Q удовлетворяет условию 3, то мы возьмем ее в качестве PQ. Полиэдрическая область Q вместе с этой цепью образует полиэдрическую область Q с меньшим, чем у Q, числом контуров. В самом деле, два контура из Q и края соединяющей их цепи треугольников образуют вместе один контур. Таким образом, два контура из Q заменены одним контуром в Q и к другим контурам из Q не прибавилось ни одного нового. [49]
Грина сводится к решению некоторой задачи Дирихле. Этот способ неприменим непосредственно к полиэдрическим областям на римановой поверхности. [50]
Рассмотрим треугольник Т0 и все треугольники, имеющие с ним общую вершину или общую сторону. Эти треугольники ( включая Г0) образуют полиэдрическую область Q, которую мы в случае надобности изменим так, чтобы ее контуры были простыми ( см. стр. Если Q удовлетворяет условию 3, то мы возьмем ее в качестве PQ. Полиэдрическая область Q вместе с этой цепью образует полиэдрическую область Q с меньшим, чем у Q, числом контуров. В самом деле, два контура из Q и края соединяющей их цепи треугольников образуют вместе один контур. Таким образом, два контура из Q заменены одним контуром в Q и к другим контурам из Q не прибавилось ни одного нового. [51]