Cтраница 4
Ясно, что при приближении к пограничным плоскостям х О, у О, z О, равно как и при удалении в бесконечность, наша функция и бесконечно возрастает. Но в кубе, как в замкнутой и ограниченной области, функция и должна иметь наименьшее значение; теперь уже ясно, что это значение достигается именно в найденной выше точке и что оно будет наименьшим и для всей первоначальной области, что и требуется доказать. [46]
Пусть f - - замкнутая жорданова область на V, ограничение кривой с. Ее образ Т ( у) - замкнутая ограниченная область, граница которой принадлежит С; следовательно, Т ( у) совпадает с Г, и f - нормальная область. [47]
Например, если рассматриваемый процесс есть движение системы материальных точек, то вектор-функция u ( t) задает управляющие силы, которые могут выбираться, чтобы целенаправленно изменить траекторию, скорость и другие характеристики движения. В дальнейшем будем считать, что вектор и принадлежит замкнутой ограниченной области U, так как возможности управления обычно ограничены. [48]
Математическая постановка таких задач аналогична их постановке в одномерном случае: ищется наименьшее ( наибольшее) значение целевой функции, заданной на некотором множестве Е возможных значений ее аргументов. В случае, когда целевая функция непрерывна, а множество Е является замкнутой ограниченной областью, остается справедливой теорема Вейерштрасса. Тем самым выделяется класс задач оптимизации, для которых гарантировано существование решения. В дальнейшем мы всегда будем предполагать, не оговаривая этого особо, что все рассматриваемые задачи принадлежат этому классу. [49]