Cтраница 1
Актуальная бесконечность ( Зенон Элейский, Ис. [1]
Критика актуальной бесконечности имеет два аспекта, соответствующих различным ступеням употребления этой идеи. Первый аспект встречается в классич. Второй аспект обнаруживается при переходе к множеств теории или типов теории, когда вместе с бесконечным множеством считается данной совокупность всех его подмножеств; этот аспект данной идеи обнаруживается уже в классич. Концепция, состоящая в недопущении лишь второго аспекта идеи актуальной бесконечности, наз. [2]
Конкретное проявление идеи актуальной бесконечности состоит в распространении на бесконечность некоторых логических принципов, которые являются совершенно бесспорными в области конечного. Предположим, что 51 есть высказывание о предметах бесконечной совокупности, например о всех натуральных числах. Предположение о возможности удостовериться, что для любого суждения 51 верно оно или его отрицание, представляет собой частичную замену гипотезы о возможности бесконечного числа актов проверки. Такую же роль играет в теории множеств и абсолютное понимание термина существование в применении к бесконечным совокупностям. [3]
Учение Кронекера об актуальной бесконечности резко противоречило теориям Дедекинда и Кантора. Рихард Дедекинд, в течение тридцати одного года состоявший профессором Высшей технической школы Брауншвейге, построил строгую теорию иррационального числа. В двух небольших книжках, Непрерывность и иррациональные числа ( Stet igkeit imd irrationale Zahlen, 1872 г.) и Что такое числа и для чего они служат ( Was sind und was sollen die Zahlen, 1882 г.) он проделал для современной математики, то, что сделал Евдокс для греческой. [4]
Взамен отвергаемого понятия актуальной бесконечности и наинного понимании существования в математике ( при к-ром это понятие считается не нуждающимся в к. При этом он отвергает идею о том, что в основании математики должна лежать ( дедуктивная) логика. [5]
Третий транс в актуальную бесконечность всеединств - во всеединство всеединств, представляющее собой вселенную, в которую вместились все мыслимые всеединства. Но когда мы говорим вселенная, то предполагаем что-то постоянное ( по Кантору), но тогда можно выйти за его границы. Значит, что-то в реальности осталось не охваченным вселенной, значит нужен еще один транс в это куда, зачем, он и переводит нас в Абсолют. [6]
Абстракции потенциальной осуществимости и актуальной бесконечности позволяют вводить в рассмотрение в науке конечные конструкции произвольных размеров и такие своеобразные объекты, как бесконечные множества. [7]
Будучи едины в своем отношении к актуальной бесконечности и в своем требовании конструктивности, сторонники четвертой точки зрения неодинаково решают вопрос о том, что допустимо в качестве исходного материала для конструкций. Таким образом, эта точка зрения делится на две группы. [8]
В то же время использование теоретико-множественной абстракции актуальной бесконечности ограничивается в интуиционистской математике требованиями эффективности. [9]
В частности, исключается обращение к абстракции актуальной бесконечности, с к-рой связаны парадоксы теории множеств. [10]
Еще одним примером транса, аналогичного трансу к актуальной бесконечности, является переход от бесконечной совокупности параллельных отрезков к прямоугольнику, обладающему качественно новой протяженностью-площадью, и т.п. ( см. пп. [11]
Одной из наиболее традиционных для математики идеализации является абстракция актуальной бесконечности, ведущая к идее актуальной бесконечности. Эта абстракция лежит в основе теоретико-множественного построения математики. Другая традиционная идеализация - абстракция потенциальной осуществимости - приводит к идее потенциальной бесконечности. Эта абстракция, в сочетании с отказом от применения абстракции актуальной бесконечности, лежит в основе конструктивного построения математики. [12]
Конструктивисты и интуиционисты жестко критиковали обычную математику за некритическое применение актуальных бесконечностей и за свободное оперирование с ними как с законченными сущностями. [13]
Такого рода рассмотрения требуют привлечения более сильной абстракции - абстракции актуальной бесконечности, к-рая отвергается К. [14]
Но если даже принять гипотезу о том, что употребление понятия актуальной бесконечности в обычной теории множеств не приводит к противоречию, то этим трудности теории множеств полностью не устраняются. Появляется другой вопрос: можем ли мы быть уверены в том, что каждая математическая проблема разрешима с помощью принципов теории множеств. Гипотеза о разрешимости любой проблемы средствами теории множеств ( в отличие от гипотезы непротиворечивости) представляется нам даже неправдоподобной. Но и для доказательства верности этого предположения необходимо иметь соответствующие средства. [15]