Cтраница 2
Примерами идеализированных объектов могут служить понятия: точка, прямая линия, актуальная бесконечность - в математике; абсолютно твердое тело, идеальный газ, абсолютно черное тело - в физике; идеальный раствор - в физической химии. Наряду с абстракцией, с к-рой она тесно связана, И. [16]
На первый взгляд при рассмотрении таких примеров может показаться, что имеется несоответствие идеи актуальной бесконечности с действительностью. На самом деле это подчеркивает только ограниченный, приближенный характер соответствия рассматриваемых математических представлений и реальной действительности. Поэтому идея актуальной бесконечности в определенных разумных пределах так же может быть использована, как и многие другие идеальные понятия. Приведенное разъяснение, конечно, не исчерпывает всех затруднений, связанных с понятием бесконечности, хотя, по-видимому, можно считать, что сама идея актуальной бесконечности не является причиной возникающих противоречий. [17]
Есть серьезные основания считать, что объекты, существование к-рых устанавливается без использования абстракции актуальной бесконечности, а лишь в рамках гораздо более скромной абстракции потенциальной осуществимости, имеют наиболее непосредственное отношение к реальной действительности. Но при обычной теоретико-множественной трактовке не делается никакого различия между объектами, существование к-рых можно подтвердить с помощью век-рого потенциально осуществимого построения, в абстрактными теоретико-множественными объектами исследования. Способы установления свойств обоих типов объектов в классич. В области бесконечного эти законы не ориентированы на эффективное построение объектов, существование к-рых утверждается. Обычно доказательство этой теоремы не дает никаких указаний на метод построения искомого максимума. [18]
Поскольку число возможных вариантов слишком велико ( можно сказать, бесконечно велико, т.е. возникает актуальная бесконечность числа вариантов) и простой перебор ( расчет и рассмотрение) всех вариантов оказывается практически невыполнимым, то кроме общего принципа и критерия рациональности надо еще знать кратчайший путь поиска рационального варианта. [19]
Одной из наиболее традиционных для математики идеализации является абстракция актуальной бесконечности, ведущая к идее актуальной бесконечности. Эта абстракция лежит в основе теоретико-множественного построения математики. Другая традиционная идеализация - абстракция потенциальной осуществимости - приводит к идее потенциальной бесконечности. Эта абстракция, в сочетании с отказом от применения абстракции актуальной бесконечности, лежит в основе конструктивного построения математики. [20]
Естественно было считать, что появление парадоксов связано прежде всего с приводящим к абстракции, актуальной бесконечности безоговорочным перенесением на бесконечные множества законов традиц. В дальнейшем во взглядах на причины возникшего кризиса определились далеко идущие расхождения. В рамках типов теории ( см. также Логицизм) Рассела и Уайтхеда мощности конечных множеств ( следуя Фреге) вводились посредством спец. [21]
В математике выделяют четыре основных вида абстракции: абстракция отождествления, абстракция потенциальной осуществимости, абстракция актуальной бесконечности и абстракция идеализации. [22]
Однако эту полноту не следует воспринимать как всеобъемлющую завершенность ( а лишь как локальную), так как таких актуальных бесконечностей может быть множество ( в т.ч. и бесконечное), являющееся объектом последующих трансов. [23]
Если бы удалось на этом пути решать вопросы непротиворечивости и независимости, то мы получили бы возможность обосновать использование идеи актуальной бесконечности и выяснить границы, в которых это возможно Мы начнем с первой задачи - построения системы понятий и принципов, удовлетворяющих поставленным требованиям. [24]
Несмотря на это, не всегда возможно непосредственно применить алгебру высказываний к высказываниям математики, не привлекая при этом понятия актуальной бесконечности. Чтобы это можно было всегда сделать, мы должны предположить, что каждое высказывание математики либо истинно, либо ложно. Однако подобное допущение уже опирается на понятие актуальной бесконечности. Оно представляет собой закон исключенного третьего, распространенный при этом и на бесконечные совокупности. [25]
Прежде всего отметим, что в силу конечности наблюдаемого мира введение понятия бесконечно сти как феномена ( в этом случае говорят об абстракции актуальной бесконечности) и дальнейшее манипулирование с этим феноменом связано с определенными логическими трудностями, так как не отождествляется с определенными физическими объектами и ситуациями. В этом случае говорят об абстракции потенциальной ( потенциально осуществимой) бесконечности. [26]
Это связано по существу с тем, что процесс абстрагирования в математике является весьма сложным и многоступенчатым с привлечением таких глубоких и неочевидных абстракций, как абстракция актуальной бесконечности или абстракция потенциальной осущест-вимостч. В результате объем объектов исследования в математике, способы обращения с этими объектами и способы доказательства утверждений относительно таких объектов, как множества произвольной природы, становятся весьма неопределенными. При неосторожном обращении с принципами доказательства в рамках теории возникают антиномии, напр, парадокс Рассела в теории множеств. В такой ситуации приходится отказываться от построения исчерпывающей и интуитивно убедительной С. Полученная формальная система может уже изучаться в рамках нек-рой метатеории с более ясной С. [27]
В конструктивной математике рассматриваются бесконечные множества ( например, натуральный ряд, множество всех слов в некотором алфавите), однако не допускаются никакие действия или рассуждения, которые используют принцип актуальной бесконечности. Принцип потенциальной бесконечности позволяет нам считать данным любое натуральное число или любое слово в заданном алфавите. [28]
На первый взгляд эта существенная неизоморфность любых теоретических ( в частности, словесных) описаний Мира могла бы быть истолкована в агностицистском смысле - вот если бы класс выражений Языка был хотя бы в идеале, в пределе, с привлечением абстракции потенциальной осуществимости [12] ( допущение в этом случае более просто решающей вопрос абстракции актуальной бесконечности имеет слишком уж явно выраженный платонистский характер 67) изоморфен описываемому им Миру, то было бы все прекрасно. Приходится, однако, признать, что в некотором смысле дело обстоит как раз наоборот: ограничительные тенденции обнаруживаются именно в смелой гипотезе об актуальном изоморфизме Мира и Языка. Дело в том, что гипотеза эта утверждает не столько богатство Языка, сколько бедность Мира. [29]
В аналитической теории алгоритмов первоначальными являются буквы, связи, и натуральные операции. Понятие актуальной бесконечности ни явно, ни неявно не привлекается. [30]