Cтраница 3
Дедекинда, но также основывается на анализе понятия непрерывности. Кантора используется абстракция актуальной бесконечности. [31]
Эти открытия Кантора были продолжением дакннх схоластических спекуляций относительно природы бесконечного, и Кантор это хорошо сознавал. Он отстаивал полное признание актуальной бесконечности у святого Августина, но сам должен был защищаться против возражений многих математиков, которые отказывались принять бесконечное иначе, как процесс, выражаемый значком оо. [32]
Кеплер твердо стоял на точке зрения актуальной бесконечности: он слишком находился еще под влиянием Архимеда, основные сочинения к-рого были ему хорошо известны; но его позиция не тверда, его воззрения в этой области эклектичны. [33]
Кеплер твердо стоял на точке зрения актуальной бесконечности: он слишком находился еще под влиянием Архимеда, основные сочинения к-рого ему были хорошо известны; но его позиция не тверда, его воззрения в этой области эклектичны. [34]
Так, принимая в рамках абстракции актуальной бесконечности, что два положительных иррациональных числа равны, если все соответственные десятичные знаки их десятичных приближений одинаковы, Mii вполне отдаем себе отчет в том, что на практике никогда не удается решить вопрос о равенстве чисел в указанном смысле в виду принципиальной невозможности довести бесконочный процесс С. На практике, ограничиваясь приближенными вычислениями, приходится исключать такие бесконечные основания С. [35]
В самом деле, если каждая доказуемая в исчислении предикатов формула тождественно истинна, то две формулы, из которых одна является отрицанием другой, не могут быть обе доказуемы, так как не могут быть одновременно тождественно истинными. Однако приведенное доказательство непротиворечивости опирается на понятие актуальной бесконечности. Оно не может быть употреблено при решении вопроса о непротиворечивости самой теории множеств, так как это привело бы к порочному кругу. Впрочем, строгое доказательство непротиворечивости исчисления предикатов, которое мы рассмотрим в следующем параграфе, основано на той же идее, что и приведенное здесь. [36]
Философская концепция, отрицающая объективно-реальное содержание категории бесконечного ( Бесконечное и конечное), исходящая из того, что бесконечность не имеет места ни во вселенной, ни в микромире, ни в нашем мышлении. В частности, исключается обращение к абстракции актуальной бесконечности, с к-рой связаны парадоксы теории множеств. Отрицаются также доказательства существования, к-рые не указывают, хотя бы неявно, способ построения объекта, существование к-рого доказывается. [37]
Математическое мышление имеет свои особенности, обусловленные своеобразием математических абстракций. Существенную роль играют здесь характерные для математики абстракции потенциальной бесконечности и актуальной бесконечности. Сложность системы математических абстракций, многообразие их взаимосвязей и сама их природа - все это находит отражение в логической систематизации математики и, в частности, в доказательствах математических теорем. [38]
Заметим, однако, что если для описания алгебры высказываний нам не потребовалось средств, выходящих за пределы конструктивных, то с логикой предикатов дело обстоит иначе. Чтобы изложить ее в содержательной форме, нам придется привлечь понятие актуальной бесконечности и принять, без всякого обоснования, способы проведения рассуждений, употребляемые в теории множеств. При таком изложении логики предикатов мы, конечно, не можем поставить задачи обоснования математики, так как то, что особенно нуждается в этом обосновании - теорию множеств - мы принимаем за основу нашего изложения. [39]
ИДЕАЛИЗАЦИЯ - мыслительный акт, связанный с образованием некоторых абстрактных объектов, принципиально не осуществимых в опыте и действительности. Примерами идеализированных объектов могут служить понятия: точка, прямая линия, актуальная бесконечность - в математике; абсолютно твердое тело, идеальный газ, абсолютно черное тело - в физике; идеальный раствор - в физической химии. Наряду с абстракцией, с к-рой она тесно связана, И. [40]
ИДЕАЛИЗАЦИЯ - мыслительный акт, связанный с образованием нек-рых абстрактных объектов, принципиально не осуществимых в опыте и действительности. Примерами идеализированных объектов могут служить понятия: точка, прямая линия, актуальная бесконечность - в математике; абсолютно твердое тело, идеальный газ, абсолютно черное тело - в физике; идеальный раствор - в физической химии. Наряду с абстракцией, с к-рой она тесно связана, И. [41]
ЗБО русского перевода) Гильберт, применяя термин бесконечностью имеет в виду актуальную бесконечность. Этой цитате в работе Гильберта предшествует анализ данных физики и астрономии, касающихся как микроструктуры реального мира, так и строения Вселенной в целом. [42]
Но, возникает вопрос о том, с какого рода построением связано множество всех действительных чисел или множество всех натуральных чисел как единый объект исследования. Есть серьезные основания считать, что объекты, существование к-рых устанавливается без использования абстракции актуальной бесконечности, а лишь в рамках гораздо более скромной абстракции потенциальной осуществимости, имеют более непосредственное отношение к реальной действительности. Однако при обычной теоретико-множественной трактовке не делается никакого различия между объектами, существование к-рых можно подтвердить с помощью нек-рого потенциально осуществимого построения, и абстрактными теоретико-множественными объектами исследования. Способы установления свойств обоих типов объектов в классич. В области бесконечного эти законы не ориентированы на аффективное построение объектов, существование к-рых утверждается. Фактически такое положение дел приводит к появлению в математике так наз. Обычное доказательство этой теоремы не дает никаких указаний на метод построения искомого максимума. Это обстоятельство может и не смущать теоретико-множественно настроенного математика: он может считать, что максимум есть у всякой функции рассматриваемого класса, независимо от того, можно его отыскать в каждом частном случае или нет, есть как объект нек-рого воображаемого мира ( платонист-ского мира, см. [6], с. Однако такой подход не удовлетворяет, если принять во внимание возможности субъекта-исследователя. Имеется ли способ отыскания максимума, и если этот способ не указан, то в каком смысле верно, что максимум существует у всякой функции рассматриваемого класса. Известно, сколь трудной является задача поиска экстремума у функций даже весьма узкого класса ( многочлены с рациональными коэффициентами от нескольких переменных), и, что существенно, указанная теорема нисколько не помогает в решении этой задачи. Заметим, что описанная выше критика классич. Появление антиномий можно рассматривать как дополнительный довод в пользу неудовлетворительности теоретико-множественного подхода, но критика относится и к таким разделам математики, где антиномий не возникает. [43]
ИДЕАЛИЗАЦИЯ - мыслительный акт, связанный с образованием некоторых абстрактных объектов, к-рые не могут быть созданы опытным путем. Примерами идеализированных объектов могут ел: жить понятия: точка, прямая т ния, актуальная бесконечность - в математике; абсолютно твердое тело, идеальный газ, абсолютно черное тело - в физике; идеальный раствор - в физической химии. Наряду с абстракцией, с к-рой она тесно связана, И. [44]
Что же касается соответствия нашему интуитивному представлению о континууме, то это представление столь смутно, что едва ли можно всерьез спорить о том, какая теория более ему соответствует. Мне представляются куда более существенными, с одной стороны, конструктивность теории т.е. возможность ее построения без привлечения абстракции актуальной бесконечности, с другой - пригодность теории для обслуживания естествознания и техники. [45]