Cтраница 4
Если при этом она совпадает с одной из этих плоскостей, то это означает, что все прямые, проходящие через точку ( jce, у0, ZQ) параллельно этой глоскости, являются образующими, и значит, рассматриваемая поверхность - распадающаяся, следовательно, совпадает со своим асимптотическим конусом. Если же поверхность - нераспадающаяся, то плоскость ( 4) сечет конус ( 5) только по указанной прямой. Отсюда, согласно п 4, следет, что через каждую точку нераспадающейся поверхности с прямою центров проходит одна ( и только одна) прямолинейная образующая, а именно, параллельная особому направлению. [46]
Изотропные прямые имеют достаточно наглядную геометрическую интерпретацию при различных специализациях координат. Рхли х0 1, то гиперплоскость XQ ] пересекается с конической поверхностью ( д: 1д:) 0 по сфере ( абсолюту), а с двумерными плоскостями, которые касаются конуса - по прямым, касающимися сферы. Таким образом, при реализации на плоскости х0 1 изотропные прямые представляют собой прямые, которые касаются сферы в n - мерном пространстве. Можно показать и обратное, что любая прямолинейная образующая гиперболоида ( X I X) - I является изотропной прямой. [47]
Заметим для дальнейшего, что главные диаметральные плоскости пересекают параболоид по параболе. Действительно, для эллиптического параболоида это следует из того, что всякая плоскость, параллельная особому направлению, пересекает этот параболоид по параболе. Для гиперболического же параболоида нужно еще доказать, что главная диаметральная плоскость не может пересекать его по прямой. Так как прямолинейные образующие гиперболического параболоида, принадлежащие одному семейству, в проекции на любую плоскость параллельно особому направлению выглядят как параллельные прямые, то заключаем, что каждая прямолинейная образующая проектируется на плоскость карты в виде прямой, параллельной одной из указанных асимптот. Но линия пересечения параболоида с главной диаметральной плоскостью проектируется в одну из осей гипербол карты. Следовательно, эта линия не есть прямолинейная образующая параболоида. А тогда она - парабола, так как плоскость ее параллельна особому направлению. [48]
Рассматривается задача профилирования контура головной части плоского тела, который, соединяя фиксированные начальную и конечную точки, реализует минимум волнового сопротивления в равномерном сверхзвуковом потоке идеального ( невязкого и нетеплопроводного) газа. Согласно выполненным ранее исследованиям, в той части пространства D определяющих параметров задачи ( числа Маха MOO или безразмерной скорости Voo набегающего потока, относительной толщины т и т.п.), в которой искомый контур обтекается с присоединенной ударной волной, он близок к отрезку прямой. Для прямолинейной оптимальной образующей ( клина) развитый подход дает точный результат. Как известно, клин - тело минимального сопротивления при нулевом коэффициенте отражения А возмущений давления от возникающего при обтекании клина косого скачка. В дополнение к случаю А ( Уоо, т) 0 прямолинейная образующая оптимальна и тогда, когда при А 0 поток за косым скачком звуковой. [49]
Заметим для дальнейшего, что главные диаметральные плоскости пересекают параболоид по параболе. Действительно, для эллиптического параболоида это следует из того, что всякая плоскость, параллельная особому направлению, пересекает этот параболоид по параболе. Для гиперболического же параболоида нужно еще доказать, что главная диаметральная плоскость не может пересекать его по прямой. Так как прямолинейные образующие гиперболического параболоида, принадлежащие одному семейству, в проекции на любую плоскость параллельно особому направлению выглядят как параллельные прямые, то заключаем, что каждая прямолинейная образующая проектируется на плоскость карты в виде прямой, параллельной одной из указанных асимптот. Но линия пересечения параболоида с главной диаметральной плоскостью проектируется в одну из осей гипербол карты. Следовательно, эта линия не есть прямолинейная образующая параболоида. А тогда она - парабола, так как плоскость ее параллельна особому направлению. [50]