Cтраница 4
Многие проблемы перечисления формулируются так, что ответ можно дать, найдя формулу для числа орбит ( систем транзитивности), определяемых группой подстановок. Часто орбитам приписываются веса; Пойа [1] показал, как получить формулу, перечисляющую орбиты в соответствии с весами и зависящую от циклической структуры подстановок данной группы. Обращение теоремы Пойа связано с обобщением хорошо известной перечислительной формулы, принадлежащей Бернсайду [ 1, стр. [46]
Но при этом dH / dt 0; следовательно, на основании теоремы Ляпунова положение равновесия, где U имеет изолированный максимум, будет устойчиво. Вопрос об обращении теоремы Лагранжа представляет собой важную и трудную задачу. [47]
Под обращением теоремы Лагранжа понимается доказательство неустойчивости положения равновесия консервативной системы, если для него силовая функция U не имеет максимума. Эта задача до исследований Четаева была решена Ляпуновым лишь для следующих двух частных случаев: 1) в положении равновесия U имеет изолированный минимум, и это обнаруживается из рассмотрения совокупности членов наинизшего порядка в разложении этой функции по степеням приращения координат; 2) отсутствие максимума силовой функции обнаруживается по членам второго порядка в разложении U в указанный ряд. Пенлеве показал на примере, что ставить задачу обращения теоремы Лагранжа имеет смысл лишь для изолированных положений равновесия. [48]
Метод функций Ляпунова является универсальным методом исследования устойчивости и большинство теорем метода Ляпунова допускают обращение. Обращение теоремы 2.2 о равномерной устойчивости было установлено Я. Обращение теоремы Четаева о неустойчивости получено И. [49]
Там же имеется определение производной в силу уравнения. Функции Ляпунова по-разному определены у разных авторов. Первые теоремы о существовании функций Ляпунова с различными свойствами были получены при обращении теорем Ляпунова об устойчивости и неустойчивости И. Г. Малкиным [67 - 70], К. [50]