Cтраница 3
А, BO) как целого, выполняется аналогичное свойство: для всех В из B 0 ei и ПРИ всех биекциях ф минимум величин 1д ( В) достигается на изображении В0 и при биекции г / о - Тогда Во называем искомым изображением для изображения А, биекцию I / JQ - искомым соответствием между точками в А и В. Величину / д ( Во) обозначаем через RA ( B) и называем расстоянием от исходного изображения Л до В. [31]
Отметим, что в условиях замечания 8, если группы автоморфизмов s - элементных подалгебр алгебры sd изоморфны группе Sym s, то в качестве внутренних изоморфизмов между s - элементными подалгебрами алгебры sd выступают любые биекции между соответствующими s - элементными подмножествами. [32]
Эта биекция также используется обычно автоматически, без специальных оговорок; когда говорят о совершенном строгом порядке на М, соответствующем совершенному нестрогому порядку на М ( или наоборот), подразумевают, что речь идет об указанной биекции. Отношения tyi и ф4, ty2 и фа, з и ф3, i 4 и ф4 ( примеры 1, 2) как раз и являются соответствующими друг другу совершенным нестрогим и совершенным строгим порядками. [33]
Представить X в виде ( У U A) U ( X ( У U А)), где А счетно и А П У 0, X У в виде A U ( X ( У U А)) и использовать существование биекции Y U А - А. [34]
Если sd - тощая точка, и 4, Aut sd Alt 4, s 3 и существуют s - элементные подалгебры алгебры sd, то любое s - элементное подмножество множества и есть подалгебра алгебры sd, любые подобные подалгебры попарно изоморфны и либо группы автоморфизмов таковых подалгебр изоморфны группе Sym 3 и все биекции между трехэлементными подмножествами множества и суть внутренние изоморфизмы алгебры sd, либо группы автоморфизмов таковых подалгебр изоморфны группе Alt 3 и внутренние изоморфизмы между этими подалгебрами суть ограничения перестановок из Alt 4 до биекции между трехэлементными подмножествами. [35]
Если sd - тощая точка, и 4, Aut sd Alt 4, s 3 и существуют s - элементные подалгебры алгебры sd, то любое s - элементное подмножество множества и есть подалгебра алгебры sd, любые подобные подалгебры попарно изоморфны и либо группы автоморфизмов таковых подалгебр изоморфны группе Sym 3 и все биекции между трехэлементными подмножествами множества и суть внутренние изоморфизмы алгебры sd, либо группы автоморфизмов таковых подалгебр изоморфны группе Alt 3 и внутренние изоморфизмы между этими подалгебрами суть ограничения перестановок из Alt 4 до биекции между трехэлементными подмножествами. [36]
В полугруппе SA обратимы только биекции о: А - А. Эти биекции называются подстановками множества А. [37]
Все предыдущие рассуждения, как обнаружил Георг Кантор, пригодны не только для конечных, но и для бесконечных множеств, ( А мы нигде и не говорили, что рассматриваем лишь конечные множества, но умышленно приводили конечные примеры. Понятие биекции вполне подходит для бесконечных множеств, поэтому можно говорить об их равночисленности, а это позволяет ввести бесконечные числа, считая, как раньше, что равночисленные множества определяют одно и то же число, и наоборот. [38]
Биекция Р: Х - Х конечного множества в себя обычно называется перестановкой ( элементов) множества X. Степени такой биекции Р образуют циклическую группу перестановок. Из теоремы 13 следует, что X является разделенным объединением своих циклов. [39]
Тогда упорядочение по углу не вполне определено - как упорядочить коллинеарные стороны. Так что биекции нет: если на ребре несколько целых точек, то непонятно, какие точки считать раньше. Если эти числа взаимно просты, то проблема исчезает - целых точек нет, каждому слагаемому отвечает в точности одна сторона. [40]
Это означает, что функцию мы выбрали неудачно. Перебрать нужно всего лишь 720 биекции. [41]
Для данного элемента а может существовать только один обратный. В полугруппе SA обратимы только биекции. Группа - это полугруппа G с единицей, в которой все элементы обратимы. Правым смежным классом группы G по ее подгруппе И называется произведение Hg, где g - некоторый элемент из G. [42]
В предыдущей лемме построены соответствия S и Т между Л - модулями и В-модулями, обладающие свойствами TS ( М) & М и ST ( N) N для любого Л - модуля М и любого В-моду-ля N. Ввиду функториальности S и Т индуцируют взаимно обратные биекции между классами изоморфизма. [43]
Это не случайное совпадение: обратимы только биекции. [44]
Я) и ( ц, Я, ц), вытекает прежде всего, что йХ Л о h ( соотв. I) следует, что / ц и цх - взаимно обратные биекции. Пусть тогда R х, Si / означает отношение существуют Я. [45]