Объем - фазовое пространство
Cтраница 3
 |
Зеркальное отражение элемента объема от плоской стенки. [31] |
Мы показали, что / j - 1, и увидим, что / 2 - - 1; следовательно, / 1, и инвариантность объема фазового пространства с учетом (3.16) доказана. [32]
Определим объем области, заключенной между двумя эллипсами которая и будет представлять собой наименьшую величину объема фазового пространства, то, что мы до сих пор называли фазовой ячейкой или элементом объема фазового пространства. [33]
Рассмотрим поэтому одночастичную функцию распределения А / it, r, v), вводимую таким образом, что величина / ( t, r, v) drdv представляет собой вероятное число молекул, находящихся в момент времени t внутри элемента drdv объема одно-частичного фазового пространства вблизи точки ( г, v) его. В большинстве случаев ( но не всегда; см., например, I1J) / ( t, r, v) считается непрерывной и дифференцируемой. [34]
Хотя введение фазового пространства - это всего лишь вспомогательный математический прием при изучении функции большого числа переменных, переход к фазовому пространству оказался весьма плодотворным, так как он сильно упростил сопоставление чисел микросостояний, отвечающих различным значениям термодинамических переменных, сведя его к расчету объемов фазового пространства. [35]
Для того чтобы перейти к классическому пределу, например, в квантовом каноническом распределении (13.10), уточним вначале само понятие классического предела для системы многих частиц, а потом установим, как ведет себя в этом пределе плотность состояний и каким образом ее можно соотнести объему фазового пространства. [36]
В этих работах три рекомбини-рующих атома рассматриваются как члены канонического ансамбля. Объем фазового пространства, в котором могут находиться эти три частицы, можно разделить на две области: область рекомбинации, в которой два атома рекомбинируют в присутствии третьего, и свободную область, в которой все три атома сосуществуют независимо. Задача состоит в следующем: если в нулевой момент времени три атома находятся в свободной области, то какова вероятность того, что по истечении некоторого времени частицы будут находиться в области рекомбинации фазового пространства. Поскольку траектории трех атомов представляют собой линию в фазовом пространстве, скорость реакции можно представить как число траекторий, которые из свободной области входят в область рекомбинации. [37]
Статистическое описание газа осуществляется функцией распределения f ( t q p) молекул газа в их фазовом пространстве. Обозначим через dr dqdp элемент объема фазового пространства молекулы; dq и dp условно обозначают соответственно произведения дифференциалов всех координат и всех импульсов. [38]
Пусть имеется некоторый объем газа, содержащий определенное число молекул, и состояние каждой молекулы изображается точкой в шестимерном фазовом пространстве. Очевидно, что при нагревании газа объем фазового пространства, допустимый для каждой данной молекулы, будет расти в связи с тем, что будет расти ее энергия. Таким образом, для высоких температур число ячеек в фазовом пространстве окажется значительно превышающим общее число молекул. Если повышать температуру еще выше, то доминирующими распределениями окажутся такие, когда большая часть ячеек пустует, а в наиболее счастливых фазовых ячейках находится по одной молекуле. Очевидно, что эта температура тела будет достигнута тем скорее, чем меньше объем фазовой ячейки. ЛП и, следовательно, энтропия оказывается не зависящей от температуры. [39]
Такова больцма-новская постановка вопроса: начальное макроскопическое состояние выделяет некоторый объем фазового пространства, все точки которого ( определяющие микросостояние системы) равновероятны. Для того чтобы временное распределение состояний подсистемы совпадало с тем, которое дается законом флюктуации, необходимо, чтобы траектории, выходящие из точек начального объема, проходили через все ячейки фазового пространства. Размеры этих ячеек выбираются в соответствии с требуемой точностью: для более точной проверки формулы флюктуации требуется более тонкое разделение фазового пространства. Обычно предполагалось, что этого требования достаточно для применимости к данной системе законов статистической физики. [40]
Но эта формула не удовлетворяет условию равенства размерностей. Из ( 31) видно, что статистическая сумма имеет размерность элемента объема фазового пространства. Но в классической термодинамике S определена лишь с точностью до аддитивной постоянной. [41]
Основной акцент в книге делается на фазовом пространстве как исходном базисе квантовой оптики. В этой связи было бы вполне занятным напомнить, что именно квантование объема фазового пространства привело Планка к правильной формуле излучения. Мы показываем, что многие из этих идей, связанных с фазовым пространством, остаются чрезвычайно полезными для понимания многих явлений квантовой оптики. В частности, квазиклассическая формулировка квантовой механики в духе Вентцеля-Крамерса - Бриллюэна ( ВКБ), на которую иногда ссылаются как на асимптотологию, служит нам руководящим принципом. В этом смысле квазиклассика не исключает квантовую природу света. Напротив, предполагая наличие макроскопического возбуждения поля, в этом формализме мы полностью учитываем интерференционные квантовые свойства. [42]
 |
Распределение частиц по энергиям для различных статистик. [43] |
Покажем, что связь между давлением, объемом и полной энергией идеального газа выражается одинаково, независимо от того, какой статистике подчиняется данный газ. Определим сначала число энергетических ячеек zt в элементе фазового пространства, а затем во всем объеме фазового пространства. [44]
Однако я был немного несправедлив в оценке всеобщности моих утверждений. Можно представить себе систему, в которой физические степени свободы ( дающие вклад в какой-то из объемов фазового пространства) могут быть заброшены за пределы области наших интересы ( например, они могут относиться к излучению, уходящему на бесконечность), так что объем той части фазового пространства, которую мы непосредственно изучаем, мог бы, на самом деле, уменьшиться. [45]
Страницы: 1 2 3 4