Cтраница 4
Справедливость некоторых неравенств может быть доказана методом математической индукции. Именно этот метод использован для доказательства ограниченности последовательности ( см. пример 3 п, 2.4 гл. [46]
Обратно, если все элементы последовательности хп удовлетворяют неравенству (3.2), то выполняются также неравенства 4 хп А: и, следовательно, последовательность хп ограничена. Таким образом, неравенство (3.2) представляет собой другую форму условия ограниченности последовательности. [47]
Если дополнительно потребовать, чтобы F было локально выпуклым, то достаточно предполагать, что в ( а) 8нУ - У слабо в F, а в ( Ь) - что пространство Е бочечно. Действительно, если F локально выпукло, то из слабой сходимости sky к у следует ( теорема 8.2.2) ограниченность последовательности sky в F. Таким образом, совокупность отображений uh ограничена в каждой точке, и предыдущие рассуждения проходят. К тем же самым заключениям приводят и некоторые другие ограничения, налагаемые на Е и F ( упр. [48]
II, III), что каждая сходящаяся подпоследовательность сходится к предельному телу, которое симметрично относительно плоскостей S, 59, Sy а потому может быть только шаром. Ограниченность последовательности снова следует из того, что если взять шар с центром в М, содержащий / Се, то этот шар содержит также все тела последовательности / Се - Основой доказательства сходимости являются теорема выбора и свойства симметризации. [49]