Cтраница 1
Однолистность f ( z) следует из взаимной однозначности отображения. [1]
Однолистность аналитических в круге z [ l функций w f ( z) и w F ( z) определяет наличие замечательных свойств, характеризующих особую регулярность, правильность всего этого класса внутри круга. Выявление этих свойств в точной количественной форме и представляет собой основную задачу теории однолистных функций. [2]
Однолистность / доказывается от противного. [3]
Однолистность функции f ( z) в замкнутом круге z - 20 ] Сро доказана. Пусть w f ( z) - однозначная аналитическая функция, однолистная е области О, не содержащей бесконечно удаленной точки. [4]
Учитывая однолистность / ( z) и теорему Сохоцкого, легко заметить, что эти особые точки не могут быть существенно особыми, следовательно, в них / ( z) естественным образом доопределяется и становится мероморфной в D. Если бы она в двух точках D принимала одинаковое значение а, то в любой близости к этим точкам она принимала бы любые, достаточно близкие к а значения, что противоречит однолистности / ( z) в ее первоначальной области определения. [5]
Для однолистности функции / ( z) в области Е необходимо и достаточно, чтобы существовала непрерывная на. [6]
Для однолистности функции / ( z) в области D необходимо ( но не достаточно. [7]
Для однолистности функции f ( z) в области Z необходимо ( но не достаточно. [8]
Требование однолистности, которое мы до сих пор предъявляли к квазиконформным отображениям, становится иногда стеснительным. Допуская многолистность отображения, естественно подчинить ее требованию соответствия характеру многолистности аналитических отображений, то есть отображений, осуществляемых с помощью аналитических функций. Но отображение с помощью аналитической функции однолистно всюду, исключая изолированные точки, вблизи которых оно ведет себя как степень. Поэтому, вводя в рассмотрение многолистные квазиконформные отображения, естественно потребовать, чтобы они также были однолистны всюду, исключая лишь изолированные точки; в последних же, то есть точках многолистности, отображение должно вести себя как степень с точностью до топологическою преобразования, другими словами, в окрестности такой точки рассматриваемое отображение должно быть представлю в виде суперпозиции топологического отображения и последующего отображения постредством степени. [9]
Условие однолистности годографа в окрестности точки О является существенным, так как можно представить течение ( рис. 7.4) с двулистным годографом ( линия ветвления - характеристика ОС), со звуковой линией, обращенной выпуклостью в сторону области сверхзвуковых скоростей. [10]
Проверка однолистности функции в области значительно сложнее, чем проверка однолистности в точке. Для голоморфных функций кроме признаков, предложенных в начале параграфа, имеется еще один признак, носящий название принципа соответствия границ. [11]
Проверка однолистности функции в области значительно сложнее, чем проверка однолистности в точке. Для регулярных функций кроме признаков, предложенных в начале параграфа, имеется еще один признак, носящий название принципа соответствия границ. [12]
D - Однолистность функции f ( г) в области D следует из взаимной однозначности отображения области D на область G. Заметим при этом, что методы доказательства непрерывности / ( г) выходят за рамки настоящего курса, а потому ограничимся доказательством существования f ( z) в области D. Так как отображение f ( г) конформно в D, то в любой точке гп 6 D выполняются свойства сохранения углов и постоянства растяжений. [13]
Итак, однолистность однозначной аналитической функции в области Q является важнейшим условием конформного отображения. Как будет показано ниже ( см. теорему 6.3 - принцип взаимно однозначного соответствия), это условие является необходимым и достаточным условием конформности отображения. [14]
Для доказательства однолистности f ( z) на Е воспользоваться принципом соответствия границ, окружив Е некоторым контуром. [15]