Биллиард
Cтраница 3
Итак, динамика в эллиптическом биллиарде похожа на рассмотренную в предыдущем разделе динамику в случае прямоугольного биллиарда. Фазовая точка в пространстве ( 7М / v, Pt r) движется следующим образом: вдали от резонансных поверхностей низкого порядка kuu u ( Iu, Pt T - ] - kvuv ( Iv, Рцт ] О она движется вблизи адиабатической кривой IUjV const. Во время пересечения резонансной поверхности она покидает адиабатическую траекторию и может быть либо захвачена в резонанс, либо рассеяна на резонансе. В первом случае фазовая точка продолжает свое движение вдоль резонансной поверхности до тех пор, пока не будет выброшена из резонанса. [31]
Такую высоту должны иметь борты биллиарда. [32]
Последние пункты книги посвящены изучению биллиардов, расположенных на поверхностях, характеризующихся постоянной отрицательной кривизной. Ряд причин стимулирует интерес к данной проблеме, и это несмотря на то, что конкретная экспериментальная реализация таких систем представляется весьма проблематичной. Прежде всего отметим, что соседние траектории на поверхностях с отрицательной кривизной разбегаются по экспоненциальному закону. Это делает подобные биллиарды идеальными объектами для изучения классического хаоса. Кроме этого, формула следа Селберга ( Selberg), определяющая плотность состояний в некоторых биллиардах с неевклидовой метрикой в терминах периодических орбит, является точной, а не приближенной, как формула Гутцвиллера, полученная для систем с евклидовой метрикой. Наконец, предполагается, что гипотетическая динамическая система, связанная с дзета-функцией Римана, в будущем может быть найдена именно среди биллиардов или рассеивающих систем, находящихся на поверхностях с постоянной отрицательной кривизной. [33]
Количество работ, посвященных исследованию хаотических биллиардов, резко возросло в последние годы. [35]
Эти два предельных случая соответствуют биллиардам в форме круга единичного радиуса и в форме кардиоиды. [37]
Экспериментальные исследования, проведенные с микроволновыми биллиардами [31, 51], также как и опыты с световодами, имеющими D-образное поперечное сечение [28], хорошо согласуются с моделью случайной суперпозиции плоских волн. [38]
После краткого описания опытов с биллиардами различного типа в книге излагается теория случайных матриц и техника суперсимметрии. Рассматриваются системы с периодической зависимостью от времени, а также явление динамической локализации. В рамках теории рассеяния исследуются флуктуации и функции распределения элементов матриц рассеяния хаотических систем. В заключительных главах приведены основные положения квазиклассической квантовой механики, включая теорию периодических орбит. Дан вывод формулы Гутцвиллера и рассмотрены ее приложения. [39]
В первой главе книги подробно наследуется биллиард, до-рожденный выпуклой областью Я, во второй и третьей главах но инвариантным множествам cwaepua строится поаледонвтель-гюсть квгзшод любого наперед зедашого, порядка. [40]
Она приводит к выводу, что рассеивающий биллиард является К - и даже Б - системой. Следовательно, он обладает всеми стохастич. К-свойст-во обнаружено и у биллиардов в нек-рых областях, граница к-рых имеет как рассеивающие, так и фокусирующие и даже только одни фокусирующие участки. [41]
Видно, что с увеличением длины биллиарда происходит общее убывание его собственных значений. Именно с неизолированными орбитами связаны различные отклонения от универсального поведения различных спектральных корреляций. [42]
Будем считать, что длины сторон биллиарда являются медленными функциями времени: di di ( et), где е - о; С 1 является малым параметром. [43]
Известно, что некоторые собственные функции хаотических биллиардов имеют большую амплитуду в окрестности классических периодических орбит. [45]
Страницы: 1 2 3 4 5