Биллиард
Cтраница 4
Это обстоятельство объясняет трудности игры на биллиарде: угол биллиарда не затягивает; а отторгает шар. [46]
Примечани е: шар отражается от стенки биллиарда так, что угол падения равен углу отражения, где углами падения и отражения называются острые углы, образованные траекторией шара с радиусом, проведенным из центра биллиарда в точку отражения. [47]
Ячейка Вигнера-Зейтца для такой решетки имеет форму биллиарда Синая. [49]
 |
Форма импульса, показанного на, в моменты времени, соответствующие а и е. [50] |
После ряда отражений амплитуда волны распределяется по биллиарду более или менее равномерно. Заметим, что такая реконструкция не имеет ничего общего с обсуждавшимся выше восстановлением квантового состояния: это всего лишь проявление фокусирующих свойств круглой границы стадиона. Любая классическая траектория, отраженная от такой границы, фокусируется в точке, являющейся изображением антенны в круглом зеркале. Подобная реконструкция импульса вновь наглядно демонстрирует тот факт, что волны и классические траектории - это по сути две стороны одной медали. [51]
Глава заканчивается обсуждением задач, связанных с биллиардами на поверхностях, обладающих постоянной отрицательной кривизной. [52]
Непрерывные семейства инвариантных торов имеются я фазовом пространстве биллиарда, порожденного кругом и эллипсом. [53]
Как уже отмечалось, в присутствии антенн спектры микроволновых биллиардов изменяются. Предполагая, что соседние резо-нансы не перекрываются, мы нашли явные выражения, определяющие сдвиг и уширение резонансов. Однако весьма часто ширины резонансов превышают среднее расстояние между ними. [55]
Хеллер ( Heller), исследовавший собственные функции хаотических биллиардов, неожиданно обнаружил, что некоторые из них имеют необычную структуру. Плотность вероятности распределялась крайне неравномерно: были явно видны области с очень большой амплитудой, получившие впоследствии название шрамы. Обычно предполагается, что в квазиклассическом пределе распределение квантовой вероятности обнаружить частицу где-либо в биллиарде подобно распределению классической вероятности. Согласно теореме, доказанной Шнирельманом ( Shnirelman) [68], Зельдичем ( Zelditch) [82] и Колин де Вердье ( Colin de Verdiere) [28], классическое и квантовое распределения в квазиклассическом пределе должны быть идентичны. Образование шрамов, казалось бы, противоречит указанной теореме, поскольку существуют волновые функции, имеющие большую амплитуду вблизи замкнутых неустойчивых орбит и малую амплитуду во всей остальной области. [56]
Лазуткин В.ф. Существование континуума замкнутых инвариантных кривых дня выпуклого биллиарда. [57]
В настоящей главе будет рассмотрена теория рассеяния в биллиардах. Мы обсудим также характер распределения амплитуд волновых функций в хаотической системе и статистику элементов матрицы рассеяния. Далее будет изложен метод малых возмущений, который используется для получения информации о распределении поля в микроволновых полостях. В основе этого метода также лежит теория рассеяния. В последнем пункте данной главы обсуждаются вопросы применения этой теории к мезоскопическим системам, в которых, согласно формуле Ландауэра ( Landauer) [32], кондактанс определяется коэффициентом прозрачности системы. [58]
Гамильтониан ( 19) описывает динамику частицы в эллиптическом биллиарде, возмущаемом медленной деформацией и вращением. [59]
Задачи 15 - 17 имеют отношение к игре в биллиард. Вероятность попадания р служит мерой искусства игрока. Игрок продолжает игру до первого промаха, так что число собранных им шаров есть длина цикла попаданий. Игра заканчивается, когда один из игроков наберет N шаров. Таким образом, в задаче 15 ищется распределение вероятностей для числа шаров, собираемых игроком в течение г циклов, в задаче 16 - распределение вероятностей для числа циклов, в течение которых игрок собирает м шаров, и среднее число циклов ( средняя продолжительность игры), в задаче 17 - вероятность ничьей. [60]
Страницы: 1 2 3 4 5