Cтраница 2
В случае окрестности точки ( а также в случае ее проколотой окрестности) наряду с выражением функция определена на окрестности употребляется выражение функция определена в окрестности. В подобных выражениях предлоги в и на имеют одинаковый смысл и для ряда других множеств. [16]
Все функции, рассматриваемые в этом пункте, определены в некоторой проколотой окрестности 0 ( а) - 0 ( а, 60) заданной точки а. Напомним, что под точкой понимается либо число ха, либо один из символов Хо О, х0 - О, оо, оо, - оо. [17]
Пусть функция / непрерывна в некоторой окрестности точки жо и дифференцируема в проколотой окрестности этой точки. [18]
Пусть функция f непрерывна в некоторой окрестности точки XQ и дифференцируема в проколотой окрестности этой точки. [19]
Если у функции в заданной точке существует конечный предел, то в некоторой проколотой окрестности этой точки функция ограничена. [20]
Прежде всего из этого условия следует, что функция / определена в некоторой проколотой окрестности U ( а) точки а. Можно, например, взять е1, тогда функция / и будет определена в соответствующей ему в силу сформулированного условия проколотой окрестности. [21]
Если функция / ( ж) имеет предел в точке а, то существует такая проколотая окрестность точки а, в которой эта функция ограничена. [22]
Функция / ( г), имеющая предел в точке z0, ограничена в некоторой проколотой окрестности этой точки. [23]
Подчеркнем, что если функция имеет предел в некоторой точке, то она определена в некоторой проколотой окрестности этой точки. [24]
P ( z) / Q ( z) с являются слоями локально тривиального расслоения над проколотой окрестностью точки с. Оператор монодромии - это ( корректно определенное) действие соответствующего преобразования монодромии в группе гомологии слоя Милнора. [25]
Не нарушая общности, можно считать, что г0 0, Пусть / не принимает в некоторой проколотой окрестности U ( 0, г) ( г 0) своей особой точки z0 0 двух значений а, Ь.С. Тогда каждая функция / ( z) / ( z / 2) ( тг. Однако это противоречит лемме. [26]
Таким образом, ни в одном случае речь не идет о функциях, заданных в окрестности или в проколотой окрестности некоторой точки числовой оси. [27]
Для простоты будем коротко называть - окрестности и проколотые - окрестности точки ее окрестностями и, соответственно, проколотыми окрестностями. [28]
Заметим, что функция /, имеющая предел в точке а, определена в силу определения 6 в некоторой проколотой окрестности этой точки. Чтобы доказать ее существование, достаточно взять какое-либо конкретное е0, например, е1; тогда, если L / ( а, 60) - проколотая 60-окрестность, соответствующая е 1 согласно определению 6, то функция f и будет определена во всех точках этой проколотой окрестности. [29]
Определение 1 не применимо к функции ( 8), так как оно дано для функций, определенных в проколотой окрестности точки, в которой рассматриваются их пределы. Поэтому к этой функции не применимо и определение 2 непрерывности функции в точке. [30]