Cтраница 3
Отметим, что определения 1 и 2 можно легко обобщить, отказавшись от предположения, что функция определена во всей проколотой окрестности точки, в которой берется предел. [31]
Среди Б.б.ф. выделяют случаи, когда либо / ( я) 0, либо / ( х) О в некоторой проколотой окрестности точки а. [32]
Существует или нет предел функции в данной точке х0, а если существует, то каково его значение, полностью определяется значениями функции в коль угодной малой проколотой окрестности U ( x0) точки ха. [33]
Простейший пример функциональной коцепи - пара аналитических функций Н и 2, каждая из которых определена в секторе с вершиной в нуле; эти секторы полностью покрывают проколотую окрестность нуля, Н - Н2 O ( e - c / z) и обе функции допускают асимптотический ряд Тэй-лора в секторе. [34]
Поскольку значение функции в самой точке, в которой берется предел, не участвует в его определении, то можно с самого начала предполагать, что функция определена лишь в проколотой окрестности этой точки. Это касается самого определения, а важным частным случаем является случай, когда функция определена в точке и предел функции совпадает со значением в этой точке. Такие функции называются непрерывными. [35]
В связи с проблемой неустойчивости жордановой формы отметим доказанный в монографии [298] небезынтересный факт: пусть элементы матрицы А ( е) аналитичны в окрестности точки е - 0; тогда существует проколотая окрестность 0 е г, в которой жорданова форма А ( е) стабильна. [36]
В частности, конечная особая точка 10 е С является изолированной особой точкой функции f ( z), если существует число г О, такое, что в круге г-го эта точка - единственная особая точка ( f ( i), а в проколотой окрестности, т.е. в 0 г-г 0, функция / ( г) аналитическая. [37]
Предположим, что голоморфная в области D с Сг функция / имеет изолированную особую точку г, конечную или бесконечно удаленную. Тогда существует число б О такое, что в проколотой окрестности 0 ( zc, б) функция / голоморфна. [38]
Как видно из сформированного определения, проколотые окрестности любых элементов х0, х0 0, х0 - 0, оо, - ( - оо или - оо получаются из их обычных окрестностей посредством удаления из них соответствующих элементов. При этом оказывается, что во всех перечисленных случаях элементами проколотых окрестностей являются только действительные числа. [39]
Это может быть интерпретировано в терминах конца в точке PJ. Говорят, что М имеет вложенный конец в точке PJ, если X является вложением в некоторой проколотой окрестности точки PJ. [40]
Я продолжил расслоение F - С Е в особые точки специальным образом, выбрав базис сечений над проколотой окрестностью особой точки и вклеив соответствующий цилиндрик. Это продолжение замечательно тем, что наша связность будет теперь иметь особенности в точках а /, но эти особенности будут простыми полюсами - связность будет логарифмическая. Получается расслоение 7го - С над всей сферой Римана с логарифмической связностью V0, имеющей заданную монодромию. Если это расслоение голоморфно тривиально, то тогда уравнения на горизонтальные сечения связности принимают вид системы линейных дифференциальных уравнений на всей сфере Римана с заданной монодромией. И что замечательно, мы можем предсказать, какие особенности имеет матрица коэффициентов. [41]
Таким образом, в любой окрестности точки ( О, 0) у этой функции имеются и положительные, и отрицательные значения, так что ( 0, 0) не является ее точкой экстремума. Однако сужение функции / на каждую прямую, проходящую через точку ( 0, 0), положительно в некоторой проколотой окрестности этой точки и потому ( 0, 0) для него точка минимума. [42]
Прежде всего из этого условия следует, что функция / определена в некоторой проколотой окрестности U ( а) точки а. Можно, например, взять е1, тогда функция / и будет определена в соответствующей ему в силу сформулированного условия проколотой окрестности. [43]
Первый результат теории распределения значений голоморфных функций относится к 1868 г.: в магистерской диссертации Юлиана Васильевича Сохоцкого доказана теорема, по которой в полюсе бесконечного порядка функция непременно должна принимать всевозможные значения. Под полюсом бесконечного порядка Ю. В. Со-хоцкий понимал существенно особую точку, а под значением в этой точке - предельное значение по сходящейся к ней последовательности точек, так что его результат - та самая классическая теорема Сохоцкого о плотности образа проколотой окрестности существенно особой точки, которая в нашей литературе долго приписывалась К. Пикару, доказавшему в 1879 г., что на самом деле образ проколотой окрестности существенно особой точки на сфере может выпускать самое большее две точки. [44]
Заметим, что функция /, имеющая предел в точке а, определена в силу определения 6 в некоторой проколотой окрестности этой точки. Чтобы доказать ее существование, достаточно взять какое-либо конкретное е0, например, е1; тогда, если L / ( а, 60) - проколотая 60-окрестность, соответствующая е 1 согласно определению 6, то функция f и будет определена во всех точках этой проколотой окрестности. [45]