Cтраница 4
Под линейкой подразумевается инструмент, с помощью которого можно построить произвольную прямую, в частности прямую, проходящую через две данные точки. Линейка считается безмасштабной и односторонней. Безмасштабность означает, что на линейке отсутствуют деления, и поэтому с ее помощью нельзя откладывать отрезки. С помощью циркуля можно на данной прямой отложить любой данный отрезок, можно провести произвольную окружность или окружность, радиус которой равен длине заданного отрезка. Не следует думать, что главное в задачах на построение - фактическое выполнение построения с использованием названных инструментов. Главнее заключается в том, чтобы найти и описать последовательность действий, ведущих к построению нужной фигуры; доказать, что построенная фигура удовлетворяет всем условиям задачи; выяснить, всегда ли построение можно осуществить; сколько существует решений, нет ли частных случаев, в которых построение упрощается, усложняется или делается невозможным. [46]
Под линейкой подразумевается инструмент, с помощью которого можно построить произвольную прямую, в частности прямую, проходящую через две данные точки. Линейка считается безмасштабной и односторонней. Безмасштабность означает, что на линейке отсутствуют деления, и поэтому с ее помощью нельзя откладывать отрезки. С помощью циркуля можно на данной прямой отложить любой данный отрезок, можно провести произвольную окружность или окружность, радиус которой равен длине заданного отрезка. Не следует думать, что главное в задачах на построение - фактическое выполнение построения с использованием названных инструментов. Главное заключается в том, чтобы найти и описать последовательность действий, ведущих к построению нужной фигуры; доказать, что построенная фигура удовлетворяет всем условиям задачи; выяснить, всегда ли построение можно осуществить; сколько существует решений, нет ли частных случаев, в которых построение упрощается, усложняется или делается невозможным. [47]
Под линейкой подразумевается инструмент, с помощью которого можно построить произвольную прямую, в частности прямую, проходящую через две данные точки. Линейка считается безмасштабной и односторонней. Безмасштаб-ность означает, что на линейке отсутствуют деления, и поэтому с ее помощью нельзя откладывать отрезки. С помощью циркуля можно на данной прямой отложить любой данный отрезок, можно провести произвольную окружность или окружность, радиус которой равен длине заданного отрезка. Не следует думать, что главное в задачах на построение - фактическое выполнение построения с использованием названных инструментов. Главное заключается в том, чтобы найти и описать последовательность действий, ведущих к построению нужной фигуры; доказать, что построенная фигура удовлетворяет всем условиям задачи; выяснить, всегда ли построение можно осуществить; сколько су - шествует решений, нет ли частных случаев, в которых построение упрощается, усложняется или делается невозможным. [48]
В рассмотренном примере коническое сечение было определено тремя точками и двумя касательными. Например, если даны четыре точки и одна касательная, проходящая через одну из этих точек. Через эти две точки надо провести произвольную окружность, которая, как и в предыдущем примере, рассматривается как направляющая конуса. После этого построения выполняются в точности по образцу предыдущего примера. [49]
Эта проблема при самых широких предположениях имеет положительное решение. Впервые это было доказано Г а в р и л о в ы м [1] для случая, когда / С - окружность с центром в начале координат. В одной из своих дальнейших статей [3] он показал, что всякий полином останется К-продолжаемым, если под К разуметь единичную окружность, из которой выбрано произвольное множество точек меры нуль. В другой статье [4] он показал, что в качестве К можно взять произвольную дугу на единичной окружности, к которой добавлено множество точек, всюду плотное на оставшейся дуге окружности. В совместной статье Л. И. Гавриловаи Н. Г. Чеботарева [1] доказан этот факт для произвольной окружности, внутри которой расположено начало координат. Наконец, Н. Г. Чеботарев [36] доказал его для произвольной замкнутой спрямляемой кривой, внутри которой находится начало координат. Для простоты вывода кривая предположена звездообразной относительно начала координат. [50]