Cтраница 3
Существуют - элементные & - множества, называемые ( специальными) октадами; каждое непустое - множество Является симметрической разностью строго меньшего - множества и октады. Каждое 5-элементное множество содержится ровно в одной октаде. [31]
Стабилизатор двух точек дополнения есть, следовательно, группа 23L3 ( 2), которая оказывается совпадающей с группой, встретившейся нам в первой лекции, трижды транзитивной на октаде. Стабилизатор точки в октаде вместе с двумя точками дополнения есть 1з ( 2), и легко видеть, что эта группа транзитивна на остающихся 14 точках дополнения. [32]
Из списка векторов типа 3, данного в начале § 2, получаем, что 8 ( 4, ( 2) 8, О15), где 2 находятся на местах, образующих октаду, причем число знаков минус нечетно. Далее будет удобно записывать векторы из R24 в MOG ( см. гл. [33]
Одна октада О, 1, 2, 3, 4, 7, 10, 12 уже найдена, и поэтому по теореме 5 каждое 5-элементное множество содержится по крайней мере в одной октаде. [34]
Это замечание - основа исходного способа Кэртиса нахождения октад в MOG [ Сиг 2 ], использующего тот факт, что каждая октада, пересекающая стандартную по четырем точкам, видна в одном из 35 секстетов рис. 11.17. Действительно, каждая октада, кроме трех из стандартного трио, пересекается по крайней мере с одной из октад этого трио по четырем точкам, так что с помощью этого рисунка можно действительно найти все октады. [35]
Это замечание - основа исходного способа Кэртиса нахождения октад в MOG [ Сиг 2 ], использующего тот факт, что каждая октада, пересекающая стандартную по четырем точкам, видна в одном из 35 секстетов рис. 11.17. Действительно, каждая октада, кроме трех из стандартного трио, пересекается по крайней мере с одной из октад этого трио по четырем точкам, так что с помощью этого рисунка можно действительно найти все октады. [36]
РМ-код возникает как подкод в 24, и мы сопоставляем оставшиеся 16 координат координатным позициям этого подкода. Любые две пересекающиеся октады [16,5,8] - кода разделяют координаты на четыре тетрады. AIS, Ли, Ли и Ai2 получаются приравниванием к нулю суммы координат, образующих тетраду, и, кроме того, соответственно ни одной, любой одной, любых двух из них или каждой из них. Ли, Лю и Л9 получаются из Аи приравниванием друг к другу любых двух, любых трех или всех четырех координат в одной из оставшихся тетрад. [37]
Стабилизатор двух точек дополнения есть, следовательно, группа 23L3 ( 2), которая оказывается совпадающей с группой, встретившейся нам в первой лекции, трижды транзитивной на октаде. Стабилизатор точки в октаде вместе с двумя точками дополнения есть 1з ( 2), и легко видеть, что эта группа транзитивна на остающихся 14 точках дополнения. [38]
Октады, построенные по 24, образуют систему Штейнера 5 ( 5, 8, 24) ( разд. Очень важно научиться определять октаду по ее 5 заданным точкам. Эта задача легко сводится к 3-задачам и 5-задачам, если заметить, что изменение счета в данном столбце достигается заменой по крайней мере одной точки в столбце и по крайней мере двух точек, если к тому же требуется сохранить четность столбца. [39]
Любое множество, содержащее нечетное количество из 24 точек, может быть превращено в - множество изменением статуса ( входит / не входит) одной или трех его точек. Наше обсуждение задачи дополнения до октады почти тривиально обобщается на этот случай - снова мы должны решить 5-задачу или одну из двух 3-задач в зависимости от того, расположены ли точки так, чтобы пять столбцов имели одну четность, а один - другую, или же чтобы по три столбца имели каждую четность. [40]
Заметим, ч о две октады на рис. 11.18 а, с имеют по б точек ( X) в квадрате и только по две ( о) в октаде. Мы получим октады рис. 11.18 Ь и d, переставив части, лежащие в квадрате, а затем дополнив их до октад. [41]
Сделаем еще несколько замечаний относительно транзитивности. Требуя дополнительно неподвижности точки второй октады, мы возвращаемся к группе 1з ( 2), действующей на 7 точках первой и второй октад и на 8 точках третьей, в каждом случае дважды тран-зитивно. [42]
Существуют - элементные & - множества, называемые ( специальными) октадами; каждое непустое - множество Является симметрической разностью строго меньшего - множества и октады. Каждое 5-элементное множество содержится ровно в одной октаде. [43]
Такова подгруппа а, Pv - Дважды транзитивность на О очевидна, а транзитивность на октадах доказывается следующим образом. Несложное, хотя и громоздкое вычисление показывает, что данная октада может сохраняться не более чем 8 дробно-линейными преобразованиями. [44]
Общий элемент группы 24: As действует как элемент знакопеременной группы А 8 на стандартной октаде и как аффинная симметрия четырехмерного пространства на дополнительном квадрате. Каждое аффинное преобразование этого квадрата продолжается до единственного элемента из Ми присоединением подходящей четной перестановки октады. Наоборот, каждая четная перестановка октады продолжается до 16 элементов из Л124 - мы можем обеспечить единственность, задав образ любой точки вне октады. [45]