Cтраница 1
Операторы Гильберта - Шмидта получены не только в качестве примеров; на них основана большая часть классической теории интегральных уравнений. Следующие утверждения служат коротким обсуждением их наиболее важных свойств. [1]
Операторы Гильберта - Шмидта служат источниками примеров ограниченных я дер, не являющихся поточечно ограниченными, но они важны и по многим другим гораздо более существенным причинам и постоянно участвуют в теории интегральных операторов. С другой стороны, что касается интегральных операторов, то наличие или отсутствие поточечной ограниченности обычно является малосущественной стороной вопроса. Вместе с тем этот вопрос может оказаться интересным, и пример 4.2 является далеко не последним словом по этому поводу. [2]
В - операторы Гильберта - Шмнлта, отображающие пространство Н в себя. [3]
А является оператором Гильберта - Шмидта, и потому оператор А - ядерный. [4]
Следствие 4.6. Лождьш оператор Гильберта - Шмидта Компактен. [5]
Если А - оператор Гильберта - Шмидта, то JA А, будучи эрмитовым и компактным, имеет ортонормированный базис собственных векторов; из ( 3) и теоремы 4.5 следует, что сумма квадратов собственных значений конечна. Если, обратно, / А А компактен и сумма квадратов собственных значений конечна, то из ( J) и теоремы 4.5 следует, что А - оператор Гильберта - Шмидта. Заметим, что не всякий компактный оператор является оператором Гильберта - Шмидта; фактически класс операторов Гильберта-Шмидта играет ту же роль в классе компактных операторов, что / 2 играет в пространстве с0 последовательностей, сходящихся к нулю. [6]
Если Т - оператор Гильберта - Шмидта на гильбертовом пространстве Н и А - произвольный ограниченный оператор в Я, то одновременно AT н ТА являются операторами Гильберта - Шмидта. Первый главный шаг в доказательстве теоремы 9.3 является очень легким обобщением этого утверждения. [7]
Тогда Л - случайный оператор Гильберта - Шмидта, оператор ЕВА существует и равен ВЕА. [8]
Точнее, всякий вольтерров оператор Гильберта - Шмидта унитарно эквивалентен интегральному оператору Вольтерра в пространстве вектор-функций; операторы, не принадлежащие у. Такие интегральные представления являются аналогами треугольных представлений для матриц. [9]
Так как Г - оператор Гильберта - Шмидта ( и, следовательно, вполне непрерывный вполне карлемановский оператор), то Q - вполне карлемаповский оператор. [10]
Обратно, пусть Т - оператор Гильберта - Шмидта, отображающий пространство B. [11]
Отсюда следует, что Q - оператор Гильберта - Шмидта. Но тогда и оператор L Г Q является оператором Гильберта - Шмидта. Следовательно, оператор Т LV является оператором Гильберта - Шмидта. [12]
Остается доказать, что В - оператор Гильберта - Шмидта. [13]
Теорема 3.5.2. Пусть Т - еалосолряжекный неотрицательно определенный оператор Гильберта - Шмидта, отображающий пространство W в себя. Предположим, что ядро R ( l s) есть сильно непрерывная операторная функция, определенная на Б X Д и Б - компактный интервал. [14]
У), то А является оператором Гильберта - Шмидта. [15]