Cтраница 4
Будем считать, что здесь и далее операторы AOJ / 0, / ОиЕ О непрерывны, f / - оператор Гильберта - Шмидта. [46]
По теореме Вейля - фон Неймана (14.13) А D С0, где О - диагональный эрмитов оператор и С0 - оператор Гильберта - Шмидта. Так как 0 имеется в существенном спектре А, то 0 будет и в существенном спектре D, так что 0 будет предельной точкой последовательности собственных значений D. Найдем квадратично суммируемую бесконечную подпоследовательность таких собственных значений и пусть Ci - оператор, полученный из D заменой нсех собственных значений не из этой подпоследовательности нулем. Если С С0 С, то С - оператор Гильберта - Шмидта и оператор / 1 - С имеет большой 0 в качестве слагаемого в прямой сумме. [47]
В частном случае, когда Li L, L2L, гильбертово произведение L и L отождествляется с так называемым пространством операторов Гильберта - Шмидта. Можно показать, что оператор А является оператором Гильберта - Шмидта тогда и только тогда, когда АА - ядерный оператор. [48]
Лемма 15.6. Если А - эрмитов оператор на гильбертово пространстве размерности К0, имеющий 0 в существенном спектре то существует эрмитов оператор Гильберта - Шмидта С такой что А - С является диагональным и имеет большой 0 в качеств слагаемого в прямой сумме. [49]