Cтраница 2
ТЕОРЕМА 4.6. Пусть А является инфинитезималъным производящим оператором сильно непрерывной полугруппы S ( t) и пусть Р - произвольный линейный ограниченный оператор, отображающий пространство Н в себя. Тогда оператор А Р порождает сильно непрерывную полугруппу и она является компактной, если S ( t) - компактная полугруппа. [16]
Собственные векторы оператора ТАН, соответствующие производящему оператору картановской подгруппы - это векторные полиномы, состоящие из мономов одного веса, с собственным значением равным весу. По предыдущей теореме неприводимое представление T VmJrl сопряжено со стандартным. Рассмотрим теперь оператор TAs, соответствующий производящему оператору As борелевской подгруппы. [17]
Очевидно, что полугруппа, обладающая производящим оператором, автоматически непрерывна. Мы покажем в дальнейшем, что любая непрерывная полугруппа со сверткой имеет производящий оператор, но это утверждение ни в коей мере не очевидно. [18]
Теорема 4.8. Если оператор А является производящим оператором равномерно корректной задачи Коши типа ( о в гильбертовом пространстве, то оператор А - ш / ( о); ( о) может быть расширен замыканием до максимального диссипативного оператора А - ь 1, действующего в более широком гильбертовом пространстве. [19]
Если полугруппа принадлежит классу Со, то производящий оператор ее замкнут. [20]
Оператор t / ( 0) называется производящим оператором полугруппы. [21]
Аа при а: х / 2 является производящим оператором аналитич. [22]
Лемма 3.1. Если операторы А и А0 являются производящими операторами аналитических полугрупп, то оператор ЭДо также обладает этим свойством. [23]
В силу теоремы 13.2 сильно позитивный оператор являета производящим оператором аналитической полугруппы T ( t) Эта полугруппа экспоненциально убывает. [24]
Теорема 2.4. Если полугруппа принадлежит классу С0, то производящий оператор ее замкнут. [25]
Тогда при достаточно малом е оператор Л еВ является производящим оператором полугруппы с Co-условием. Вообще говоря, оператор А В и даже его замыкание может не быть производящим оператором полугруппы с Co-условием. [26]
Теорема 4.12. Для того чтобы, замкнутый оператор А был производящим оператором сжимающей полугруппы, аналитической в правой полуплоскости, необходимо и достаточно, чтобы он был отрицательным самосопряженным оператором. [27]
Позитивные операторы, как показывают примеры, не обязательно являются производящими операторами сильно непрерывных полугрупп. [28]
Если А - производящий оператор, то сопряженный оператор А будет слабым производящим оператором Т ( t) в том смысле, что D ( А) состоит из всех тех /, для к-рых существует в смысле слабой сходимости предел t - l T ( t) - / ] / при t - 0, равный A i. Область определения 1) ( А) плотна и X в смысле слабой топологии, и оператор / 1 замкнут в этой топологии. [29]
D называется также Ф - слабым инфини-тезимальным оператором или Ф - слабым производящим оператором полугруппы. [30]