Cтраница 4
Переходим к доказательству достаточности. Пусть оператор А удовлетворяет условиям теоремы 13.1. Построим ту полугруппу, производящим оператором которой он является. [46]
Очевидно, что полугруппа, обладающая производящим оператором, автоматически непрерывна. Мы покажем в дальнейшем, что любая непрерывная полугруппа со сверткой имеет производящий оператор, но это утверждение ни в коей мере не очевидно. [47]
Тогда при достаточно малом е оператор Л еВ является производящим оператором полугруппы с Co-условием. Вообще говоря, оператор А В и даже его замыкание может не быть производящим оператором полугруппы с Co-условием. [48]
Этот вопрос нетривиален уже для G R. Ответ в этом случае ( для банахова пространства V) дается известной теоремой И. М. Гельфанда о структуре производящего оператора для сильно непрерывной однопараметрической группы. Крейн и А. М. Шихватов [105] перенесли этот результат на произвольные группы Ли. [49]