Cтраница 1
Симметрический оператор, не имеющий симметрических расширений, но не совпадающий со своим сопряженным ( А сг А), называется максимальным симметрическим оператором. [1]
Симметрические операторы А и А - являются максимальными с индексами дефекта ( О, 1) и ( 1 0) соответственно. [2]
Симметрический оператор имеет единственную спектральную функцию в том и только в том случае, когда он максимальный. [3]
Симметрический оператор всегда допускает замыкание. Сопряженный оператор А к симметрическому является расширением самого оператора А. Все невещественные точки плоскости являются точками регулярного типа для симметрического оператора. Точкам, лежащим в верхней полуплоскости, отвечает одно значение индекса дефекта, точкам нижней полуплоскости - другое. Эти два числа называются индексами дефекта симметрического оператора. Если один из индексов дефекта равен нулю, то симметрический оператор называется максимальным. Максимальный симметрический оператор не допускает нетривиальных симметрических расширений. Для того чтобы симметрический оператор был самосопряженным, достаточно, чтобы он имел хотя бы одну вещественную регулярную точку. Для того чтобы симметрический оператор мог быть расширен в пространстве Н до самосопряженного оператора, необходимо и достаточно, чтобы он имел равные дефектные числа. [4]
Любой положительный симметрический оператор А, область определения которого DA плотна в Н, обладает по крайней мере одним положительным самосопряженным расширением. [5]
Любой простой симметрический оператор с индексами дефекта ( 1, 1), допускающий квазисамосопряженное расширение с точечным спектром, заполняющим всю полуплоскость, изоморфен преобразованию Кэли оператора V, определенного на стр. [6]
Любой простой симметрический оператор с индексами дефекта ( 1, 1), допускающий квазисамосопряженное расширение без спектра, изоморфен оператору дифференцирования на конечном интервале. [7]
Если симметрический оператор А определен всюду в И, то А есть самосопряженный ограниченный оператор. [8]
Каждый симметрический оператор А имеет два дефектных числа, а именно одно ( т) в нижней, другое ( п) в верхней полуплоскости. [9]
Если симметрический оператор задан на всем пространстве Я, то он ограничен, принадлежит SB ( H) и самосопряжен. [10]
Поскольку немаксимальный симметрический оператор имеет различные обобщенные резольвенты, то его спектральная функция не определяется однозначно. [11]
НИЯ симметрического оператора А - операторы А ( замыкание оператора А) и А ( сопряженный к А оператор) соответственно. [12]
У симметрического оператора S в евклидовом пространстве все характеристические числа вещественны, так как после расширения этот оператор становится эрмитовым. [13]
Для любого замкнутого симметрического оператора А существует базис матричного представления. [14]
Определение 5.1. Симметрический оператор А называется максимальным, если он не имеет симметрических расширений. [15]