Cтраница 1
Невырожденные операторы обладают многими примечательными особенностями. Для таких операторов дефект равен нулю, поэтому из формулы (56.4) следует, что ранг невырожденного оператора совпадает с размерностью пространства. Если невырожденный оператор А действует в пространстве X, то область значений ТА совпадает с X. Таким образом, каждый вектор из X является образом некоторого вектора из X. Это свойство невырожденного оператора эквивалентно его определению. [1]
Пусть невырожденный оператор А действует в пространстве X. Его ранг совпадает с размерностью X. Как вытекает из формул (60.2), это означает, что ранг системы столбцов матрицы оператора совпадает с их числом. Это возможно тогда и только тогда, когда определитель матрицы оператора отличен от нуля. [2]
Сумма невырожденных операторов уже не обязательно будет невырожденным оператором. [3]
Важным свойством невырожденного оператора является единственность прообраза для любого вектора пространства. [4]
Согласно определению невырожденного оператора, ядро состоит только из нулевого вектора. [5]
Рассмотрим множество невырожденных операторов, действующих в одном и том же линейном пространстве. На этом множестве операция умножения операторов является алгебраической и к тому же ассоциативной. К невырожденным операторам относится и тождественный оператор Е, который играет роль единицы. [6]
Полученное свойство невырожденного оператора дает основание для следующих определений. [7]
Множество всех линейных невырожденных операторов, действующих в данном n - мерном линейном пространстве, образует группу относительно операции умножения операторов. [8]
Если Т - любой невырожденный оператор, то оператор Т AT является эрмитовым в том и только в том случае, если эрмитовым является оператор А; поэтому для любого унитарного оператора Т оператор Т-1 АТ является эрмитовым в том и только в том случае, если это же верно для оператора А. [9]
Если Т - любой невырожденный оператор, то оператор Т АТ является симметрическим в том и только в том случае, если симметрическим является и А; для любого ортогонального оператора Т оператор Т - АТ является симметрическим в том и только в том случае, если это же верно и для А. [10]
Если Т - любой невырожденный оператор, то оператор Т AT является эрмитовым в том и только в том случае, если эрмитовым является оператор Аз поэтому для любого унитарного оператора Т оператор T - 1AT является эрмитовым в том и только в том случае, если это же верно для оператора А. [11]
Если Т - любой невырожденный оператор, то оператор Т АТ является симметрическим в том и только в том случае, если симметрическим является и А; для любого ортогонального оператора Т оператор Т - АТ является симметрическим в том и только в том случае, если это же верно и для А. [12]
Отметим следующее важное свойство невырожденных операторов: каждый такой оператор отображает пространство V на себя взаимно однозначно. [13]
Таким образом, множество невырожденных операторов представляет собой группу по умножению. Несколько позднее мы покажем, что эта группа - некоммутативная. [14]
Отметим следующее важное свойство невырожденных операторов: - каждый такой оператор отображает пространство V на себя взаимно однозначно. [15]