Cтраница 3
Мы уже отмечали, что кольцо операторов и группа всех невырожденных операторов, действующих в линейном пространстве, являются некоммутативными. Для доказательства этого утверждения, очевидно, достаточно найти две квадратные матрицы А, В такие, что АВ ф ВА. [31]
Если мы покажем, что для любого невырожденного оператора А существует такой невырожденный оператор, который в произведении с А дает тождественный, то это будет означать, что множество всех невырожденных операторов образует группу по умножению. [32]
Тождественный оператор переходит в единичную матрицу, а обратный оператор - в обратную матрицу; невырожденным операторам соответствуют невырожденные матрицы, и наоборот. [33]
Заметим, что в рассматриваемом случае в разложении ( 78) не только первый множитель Н, но и второй U однозначно определяются заданием невырожденного оператора А. [34]
Если мы покажем, что для любого невырожденного оператора А существует такой невырожденный оператор, который в произведении с А дает тождественный, то это будет означать, что множество всех невырожденных операторов образует группу по умножению. [35]
Каждый линейный невырожденный оператор, действующий в линейном пространстве, осуществляет взаимно однозначное отображение линейного пространства на себя. [36]
Линейный оператор в гг-мерном векторном пространстве имеет не более я различных собственных значений. Каждое собственное значение невырожденного оператора отлично от нуля. [37]
Линейный оператор в n - мерном векторном пространстве имеет не более п различных собственных значений. Каждое собственное значение невырожденного оператора отлично от нуля. [38]
Обратный оператор играет существенную роль при выполнении многих исследований. Однако он был определен лишь для невырожденного оператора и пока мы не имеем соответствующего аналога для вырожденного оператора и оператора, действующего из одного пространства в другое. Этот аналог может быть построен на основе псевдорешений. [39]
Невырожденными будут, например, тождественный оператор и скалярный оператор, если только он не является нулевым. Иногда с оператором А, действующим в пространстве X, можно связать некоторый невырожденный оператор даже в том случае, когда А - вырожденный. Действительно, пусть ТА - область значений оператора A, a NA - - его ядро. [40]
Невырожденные операторы обладают многими примечательными особенностями. Для таких операторов дефект равен нулю, поэтому из формулы (56.4) следует, что ранг невырожденного оператора совпадает с размерностью пространства. Если невырожденный оператор А действует в пространстве X, то область значений ТА совпадает с X. Таким образом, каждый вектор из X является образом некоторого вектора из X. Это свойство невырожденного оператора эквивалентно его определению. [41]
Рассмотрим отображение TI, равное Т в первом случае и TS во втором случае. Тогда при фиксированном а справедливо равенство Т ( а v) a Bv, где В: V - - - V - невырожденный оператор. [42]
Существует разложение А QU оператора А в произведение неотрицательного эрмитова оператора Q и унитарного оператора U. Оператор Q однозначно определяется условием Q2 AA, а оператор U определяется однозначно в том и только в том случае, если А - невырожденный оператор. [43]
В противном случае согласно 15.1 имеем фф. Тогда / ф () - / ч1 ( k) / qiW B СИЛУ 13.7. Но ни один из корней характеристического многочлена fp ( X) невырожденного оператора ф2 по определению не равен нулю. [44]
Невырожденные операторы обладают многими примечательными особенностями. Для таких операторов дефект равен нулю, поэтому из формулы (56.4) следует, что ранг невырожденного оператора совпадает с размерностью пространства. Если невырожденный оператор А действует в пространстве X, то область значений ТА совпадает с X. Таким образом, каждый вектор из X является образом некоторого вектора из X. Это свойство невырожденного оператора эквивалентно его определению. [45]