Cтраница 4
Это означает, что для монотонной функции за определение непрерывности может быть взято следующее ее свойство: монотонная функция непрерывна, если она принимает все промежуточные значения. [46]
Как известно, доказательство того, что из определения непрерывности на языке г - § следует последовательностная непрерывность, не нуждается в аксиоме выбора. Обратное же заключение, как уже отмечалось, получается лишь с помощью названной аксиомы. И Гейне, доказывая, что из последовательностного определения следует окрестностное, фактически прибегал к ней. Действительно он рассуждал следующим образом. [47]
Нетрудно проверить, что это определение непрерывности равносильно определению непрерывности, построенному по аналогии с определением, используемым в анализе. [48]