Cтраница 2
Далее, если бы какое-то Я было равно нулю, то и определитель преобразования 38 был бы равен нулю. [16]
Знак перед первым диагональным элементом матрицы ( 1) совпадает со знаком определителя преобразования. [17]
Таким образом, при линейном преобразовании переменных дискриминант квадратичной формы умножается на квадрат определителя преобразования от новых переменных к первоначальным. [18]
Два последовательно произведенных аффинных преобразования равносильны одному аффинному преобразованию, определитель которого равен произведению определителей исходных преобразований. [19]
Стало быть, постоянное отношение площадей Г: F при любом аффинном преобразовании равно определителю преобразования. [20]
При аффинном преобразовании n - мерного евклидова пространства объем параллелепипеда, построенного на п векторах, умножается на абсолютную величину определителя преобразования. Другими словами, при аффинном преобразовании отношение объемов параллелепипедов сохраняется. [21]
В качестве примера возьмем опять группу вещественных ортогональных преобразований в трехмерном пространстве и сопоставим каждому такому преобразованию число, равное определителю преобразования, и определим умножение в области этих чисел обычным образом, как умножения чисел. В данном случае наша группа будет гомоморфна группе, состоящей из двух элементов ( - - 1) и ( - 1), причем умножение для этих двух элементов определяется обычным образом как умножение чисел. [22]
В качестве примера возьмем опять группу вещественных ортогональных преобразований в трехмерном пространстве и сопоставим каждому такому преобразованию число, равное определителю преобразования, определив умножение в области этих чисел обычным образом, как умножения чисел. В данном случае наша группа будет гомоморфна группе, состоящей из двух элементов ( - ] - 1) и ( - 1), причем умножение для этих двух элементов определяется обычным образом, как умножение чисел. [23]
Так как при этом и X3 принимает любые вещественные значения, отличные от нуля, то всегда можно добиться того, чтобы определитель преобразования ( 3) был равен единице. [24]
Определитель преобразования ( 1) первого рода ( поворота вокруг какой-то оси, проходящей через начало координат), равен 1, а определитель преобразования ( 2) второго рода равен - J. Поэтому все преобразования первого рода ( вращения) образуют подгруппу полной ортогональной группы, называемую группой вращений ( трехмерного) пространства. [25]
Таким образом, при линейном преобразовании плоскости все параллелограммы деформируются так, что их ориентированные площади изменяются пропорционально; общим, коэффициентом изменения площадей является определитель преобразования. Из формулы ( 8) видно также следующее: если Det / l0, то пара векторов х, у и пара их образов ориентированы одинаково ( о и о имеют один и тот же знак); если Det / l0, то пары х, у и х, у ориентированы различно. Иначе говоря, если Ое1Л0, то преобразование сохраняет ориентации всех пар векторов данной плоскости, если Det / 40 - меняет на противоположные. [26]
На основании соотношения ( 15) заключаем: при линейном преобразовании пространства все параллелепипеды деформируются так, что их ориентированные объемы изменяются пропорционально; общим коэффициентом изменения объемов является определитель преобразования. Из формулы ( 15) видно также следующее: если Det А 0, то тройка векторов х, у, z и тройка их образов ориентированы одинаково ( т и т имеют один и тот же знак); если Det Л 0, то тройки х, у, z и х, у, z ориентированы различно. [27]
Следовательно, при аффинных преобразованиях объемы всех тетраэдров, а потому и вообще объемы всех тел ( как суммы объемов тетраэдров или как пределы таких сумм) умножаются на некоторый постоянный множитель, а именно, на определитель преобразования А. [28]
Преобразуем этот интеграл н другой, распространенный на область 2 н плоскости им. Определителем преобразования является С. [29]
Следом преобразования А называется след матрицы А. Геометрический смысл ранга и определителя преобразования рассмотрен в следующем параграфе. [30]