Cтраница 3
Этот результат может быть значительно обобщен. Таким образом, абсолютная величина определителя Остроградского преобразования ( 5) может рассматриваться как коэффициент растяжения. [31]
Вектор ra X / р определяет направление нормали к поверхности при попой параметризации, а вектор ти X - при старой. Мы видим, что эти направления совпадают, если определитель преобразования д ( и, v) / d ( а, р) положителен, и противоположны, если он отрицателен. Таким образом, можно сказать, что при преобразовании параметров с положительным определителем преобразования ориентация поверхности сохраняется, а с отрицательным - меняется на противоположную. [32]
Метод, предложенный для вычисления теплоемкости Борном и Карманом [6 - 8], основан на расчете действительного вида колебательного спектра при определенных предположениях о характере межатомных сил. Частоты собственных колебаний решетки вычисляются здесь как корни секулярного уравнения, получающегося из определителя преобразования к нормальным координатам. Степень такого уравнения есть 3s ( s - число атомов в одной ячейке), а число уравнений равно числу ячеек. Поэтому все-таки для окончательного вычисления g ( v) должны быть развиты соответствующие приближенные методы. [33]
Метод, предложенный для вычисления теплоемкости Борном и Карманом [6-8], основан на расчете действительного вида колебательного спектра при определенных предположениях о характере межатомных сил. Частоты собственных колебаний решетки вычисляются здесь как корни секулярного уравнения, получающегося из определителя преобразования к нормальным координатам. Степень такого уравнения есть З У ( s - - число атомов в одной ячейке), а число уравнений равно числу ячеек. Поэтому все-таки для окончательного вычисления g ( v) должны быть развиты соответствующие приближенные методы. [34]
У и порождает группу монодромии: листы алгебраической функции при продолжении вдоль петель переставляются. Определитель Вронского вектор-функции Ф ( обозначаемый W) умножается на константу ( равную определителю преобразования монодромии); поэтому W0 над. Регулярность алгебраической функции в особых точках доказывается элементарно. [35]
Будем рассматривать теперь линейные вещественные преобразования вида ( 2) с любыми коэффициентами, но будем всегда считать, что определитель преобразования отличен от нуля. [36]
Для последующего важно рассмотреть вопрос о замене переменных. Покажем, что каждый множитель является инвариантом такой замены, но инвариантом относительным, причем в том смысле, что если умножить его на определитель преобразования, то он будет множителем для новой системы переменных. [37]
В каждом из этих поворотов преобразование переменных совершается по формулам упр. Затем надо из полученных трех преобразований исключить промежуточные переменные xlt ylt zi, A-J, j2, z2; это лучше всего достигается перемножением ( в правильном порядке) трех определителей составляющих преобразований. [38]
Линейное преобразование называется собственным, если определитель матрицы преобразования не равен нулю. Действительно, произведение линейных преобразований является также линейным преобразованием, матрица которого находится перемножением матриц преобразований-сомножителей. Так как определитель преобразования не равен нулю, для каждого преобразования А существует обратное преобразование Л 1, причем последовательное применение прямого и обратного преобразований приводит к тождественному преобразованию. Наконец, выполняется правило ассоциативности. [39]
Вектор ra X / р определяет направление нормали к поверхности при попой параметризации, а вектор ти X - при старой. Мы видим, что эти направления совпадают, если определитель преобразования д ( и, v) / d ( а, р) положителен, и противоположны, если он отрицателен. Таким образом, можно сказать, что при преобразовании параметров с положительным определителем преобразования ориентация поверхности сохраняется, а с отрицательным - меняется на противоположную. [40]
В этом случае будем говорить, что евклидово пространство Еп ориентировано. Легко убедиться, что преобразование правого базиса в правый характеризуется равенством 1 определителя преобразования, а левого в левый - равенством - 1 этого определителя. [41]
Имеет геометрический смысл и знак определителя преобразования. В § 2, п 1 и п 4 мы установили связь между направлением обхода периметра треугольника и знаком его площади и между ориентацией тройки векторов, на которых построен параллелепипед, и знаком его объема. Из этой связи вытекает, что аффинное преобразование плоскости с положительным определителем сохраняет направление обхода, а преобразование с отрицательным определителем изменяет направление обхода на противоположное, пространственное аффинное преобразование сохраняет или изменяет ориентацию тетраэдра смотря по тому, какой знак имеет определитель преобразования - плюс или минус. [42]
В этом случае будем говорить, что евклидово пространство Е ориентировано. Все базисы в Е, получающиеся из данного ортогональными преобразованиями с определителем, равным 1, назовем правыми, а все базисы, которые получаются из данного ортогональными преобразованиями с определителем, равным - 1, - левыми. Легко убедиться, что преобразование правого базиса в правый характеризуется равенством 1 определителя преобразования, а левого в левый - равенством - 1 этого определителя. [43]
В этом случае будем говорить, что евклидово пространство Еп ориентировано. Все базисы в Еп, получающиеся из данного ортогональными преобразованиями с определителем, равным 1, назовем правыми, а все базисы, которые получаются из данного ортогональными преобразованиями с определителем, равным - 1, - левыми. Легко убедиться, что преобразование правого базиса в правый характеризуется равенством 1 определителя преобразования, а левого в левый - равенством - 1 этого определителя. [44]
В этом случае будем говорить, что евклидово пространство Еп ориентировано. Все базисы в Еп, получающиеся из данного ортогональными преобразованиями с определителем, равным 1, назовем правыми, а все базисы, которые получаются из данного ортогональными преобразованиями с определителем, равным - 1, - левыми. Легко убедиться, что преобразование правого базиса в правый характеризуется равенством 1 определителя преобразования, а левого в левый - равенством - 1 этого определителя. [45]